Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  btwnz GIF version

Theorem btwnz 9214
 Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 8067 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 arch 9018 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
31, 2syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
4 nnre 8771 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
5 ltnegcon1 8269 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴))
65ex 114 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
74, 6syl5 32 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
87pm5.32d 446 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴)))
9 nnnegz 9101 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → -𝑧 ∈ ℤ)
10 breq1 3941 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑧 → (𝑥 < 𝐴 ↔ -𝑧 < 𝐴))
1110rspcev 2794 . . . . . . 7 ((-𝑧 ∈ ℤ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
129, 11sylan 281 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
138, 12syl6bi 162 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
1413expd 256 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)))
1514rexlimdv 2552 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
163, 15mpd 13 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
17 arch 9018 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦)
18 nnz 9117 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
1918anim1i 338 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑦))
2019reximi2 2532 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
2117, 20syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
2216, 21jca 304 1 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3938  ℝcr 7663   < clt 7844  -cneg 7978  ℕcn 8764  ℤcz 9098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780  ax-arch 7783 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-z 9099 This theorem is referenced by:  lbzbi  9455  exbtwnzlemex  10078  rebtwn2z  10083
 Copyright terms: Public domain W3C validator