Theorem btwnz 9577

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		arch 9377	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
4		nnre 9128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
5		ltnegcon1 8621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴))
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
7	4, 6	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
8	7	pm5.32d 450	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴)))
9		nnnegz 9460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → -𝑧 ∈ ℤ)
10		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑧 → (𝑥 < 𝐴 ↔ -𝑧 < 𝐴))
11	10	rspcev 2907	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑧 ∈ ℤ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
12	9, 11	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
13	8, 12	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
14	13	expd 258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)))
15	14	rexlimdv 2647	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
16	3, 15	mpd 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
17		arch 9377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦)
18		nnz 9476	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
19	18	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑦))
20	19	reximi2 2626	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
21	17, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
22	16, 21	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ℝcr 8009   < clt 8192  -cneg 8329  ℕcn 9121  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458

This theorem is referenced by:  lbzbi  9823  exbtwnzlemex  10481  rebtwn2z  10486