Theorem decaddci 9664

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7	⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;1𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddci	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 9410	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 9625	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 9407	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 8314	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9	8	oveq1i 6023	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10		decaddci.5	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
11	9, 10	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12		decaddci.6	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		decaddci.7	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = ;1𝐶
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 9658	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷𝐶

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028  ℕ₀cn0 9395  ;cdc 9604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605

This theorem is referenced by:  decaddci2  9665  6t4e24  9709  7t3e21  9713  7t5e35  9715  7t6e42  9716  8t3e24  9719  8t4e32  9720  8t7e56  9723  8t8e64  9724  9t3e27  9726  9t4e36  9727  9t5e45  9728  9t6e54  9729  9t7e63  9730  9t8e72  9731  9t9e81  9732  2exp8  13001  2exp11  13002  ex-exp  16273