Theorem dflidl2rng 14410

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
dflidl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflidl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variables 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
3		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	3	subg0cl 13685	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
6	1, 2, 5	3jca 1182	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 14409	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
11	6, 10	sylan 283	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
12	11	ralrimivva 2592	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
13	7	subgss 13677	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
14	13	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
15		elex2 2796	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐼 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼)
16	4, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼)
17	16	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼)
18		eqid 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	18	subgcl 13687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
20	19	ad5ant245 1241	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
21	20	ralrimiva 2583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
22	21	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
23	22	ralimdvva 2579	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
24	23	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
25	9, 7, 18, 8	islidlm 14408	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
26	14, 17, 24, 25	syl3anbrc 1186	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
27	12, 26	impbida 598	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488   ⊆ wss 3177  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  0_gc0g 13255  SubGrpcsubg 13670  Rngcrng 13861  LIdealclidl 14396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-subg 13673  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-rng 13862  df-lssm 14282  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398

This theorem is referenced by:  isridlrng  14411  dflidl2  14417  df2idl2rng  14437