Theorem nnap0d 9167

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9150	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   0cc0 8010   # cap 8739   NNcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  qtri3or  10472  qbtwnrelemcalc  10487  intfracq  10554  flqdiv  10555  modqmulnn  10576  facndiv  10973  bcn0  10989  bcn1  10992  bcm1k  10994  bcp1n  10995  bcp1nk  10996  bcval5  10997  bcpasc  11000  permnn  11005  divcnv  12024  trireciplem  12027  trirecip  12028  expcnvap0  12029  geo2sum  12041  geo2lim  12043  cvgratnnlemfm  12056  cvgratnnlemrate  12057  mertenslemi1  12062  eftabs  12183  efcllemp  12185  ege2le3  12198  efcj  12200  efaddlem  12201  eftlub  12217  eirraplem  12304  dvdsflip  12378  bitsp1  12478  bitsfzo  12482  bitsmod  12483  bitscmp  12485  bitsinv1lem  12488  dvdsgcdidd  12531  mulgcd  12553  gcddiv  12556  sqgcd  12566  lcmgcdlem  12615  qredeu  12635  prmind2  12658  isprm5lem  12679  divgcdodd  12681  sqrt2irrlem  12699  oddpwdclemxy  12707  oddpwdclemodd  12710  oddpwdclemdc  12711  sqrt2irraplemnn  12717  sqrt2irrap  12718  qmuldeneqnum  12733  divnumden  12734  numdensq  12740  hashdvds  12759  phiprmpw  12760  pythagtriplem19  12821  pcprendvds2  12830  pcpremul  12832  pceulem  12833  pceu  12834  pcdiv  12841  pcqmul  12842  pcid  12863  pc2dvds  12869  dvdsprmpweqle  12876  pcaddlem  12878  pcadd  12879  oddprmdvds  12893  pockthlem  12895  4sqlem5  12921  mul4sqlem  12932  4sqlem12  12941  4sqlem15  12944  4sqlem16  12945  4sqlem17  12946  znrrg  14640  logbgcd1irraplemexp  15658  logbgcd1irraplemap  15659  mpodvdsmulf1o  15680  mersenne  15687  perfect  15691  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem4  15768  lgsquadlem1  15772  m1lgs  15780  2sqlem3  15812  2sqlem8  15818  cvgcmp2nlemabs  16488  redcwlpolemeq1  16510