Theorem nnap0d 9350

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9333	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8179   # cap 8909   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305

This theorem is used by:  qtri3or  10675  qbtwnrelemcalc  10690  intfracq  10757  flqdiv  10758  modqmulnn  10779  facndiv  11177  bcn0  11193  bcn1  11196  bcm1k  11198  bcp1n  11199  bcp1nk  11200  bcval5  11201  bcpasc  11204  bcm1n  11207  permnn  11210  hashf1  11287  divcnv  12264  trireciplem  12267  trirecip  12268  expcnvap0  12269  geo2sum  12281  geo2lim  12283  cvgratnnlemfm  12296  cvgratnnlemrate  12297  mertenslemi1  12302  eftabs  12423  efcllemp  12425  ege2le3  12438  efcj  12440  efaddlem  12441  eftlub  12457  eirraplem  12544  dvdsflip  12618  bitsp1  12718  bitsfzo  12722  bitsmod  12723  bitscmp  12725  bitsinv1lem  12728  dvdsgcdidd  12771  mulgcd  12793  gcddiv  12796  sqgcd  12806  lcmgcdlem  12855  qredeu  12875  prmind2  12898  isprm5lem  12919  divgcdodd  12921  sqrt2irrlem  12939  oddpwdclemxy  12947  oddpwdclemodd  12950  oddpwdclemdc  12951  sqrt2irraplemnn  12957  sqrt2irrap  12958  qmuldeneqnum  12973  divnumden  12974  numdensq  12980  hashdvds  12999  phiprmpw  13000  pythagtriplem19  13061  pcprendvds2  13070  pcpremul  13072  pceulem  13073  pceu  13074  pcdiv  13081  pcqmul  13082  pcid  13103  pc2dvds  13109  dvdsprmpweqle  13116  pcaddlem  13118  pcadd  13119  oddprmdvds  13133  pockthlem  13135  4sqlem5  13161  mul4sqlem  13172  4sqlem12  13181  4sqlem15  13184  4sqlem16  13185  4sqlem17  13186  znrrg  14995  logbgcd1irraplemexp  16070  logbgcd1irraplemap  16071  log2tlbndlog2  16082  birthdaylem2  16088  birthdaylem3  16089  pellexlem2  16092  mpodvdsmulf1o  16104  mersenne  16111  perfect  16115  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem4  16192  lgsquadlem1  16196  m1lgs  16204  2sqlem3  16236  2sqlem8  16242  cvgcmp2nlemabs  17081  redcwlpolemeq1  17104