Theorem nnap0d 9352

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9335	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8179   # cap 8911   NNcn 9306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-inn 9307

This theorem is used by:  qtri3or  10685  qbtwnrelemcalc  10700  intfracq  10770  flqdiv  10771  modqmulnn  10792  facndiv  11191  bcn0  11207  bcn1  11210  bcm1k  11212  bcp1n  11213  bcp1nk  11214  bcval5  11215  bcpasc  11218  bcm1n  11221  permnn  11224  hashf1  11301  divcnv  12280  trireciplem  12283  trirecip  12284  expcnvap0  12285  geo2sum  12297  geo2lim  12299  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  mertenslemi1  12318  eftabs  12439  efcllemp  12441  ege2le3  12454  efcj  12456  efaddlem  12457  eftlub  12473  eirraplem  12560  dvdsflip  12634  bitsp1  12734  bitsfzo  12738  bitsmod  12739  bitscmp  12741  bitsinv1lem  12744  dvdsgcdidd  12787  mulgcd  12809  gcddiv  12812  sqgcd  12822  lcmgcdlem  12871  qredeu  12891  prmind2  12914  isprm5lem  12936  divgcdodd  12938  sqrt2irrlem  12956  nnmaxpwlemxy  12964  nnmaxpwlemnfac  12967  nnmaxpwlemparts  12968  sqrt2irraplemnn  12975  sqrt2irrap  12976  qmuldeneqnum  12991  divnumden  12992  numdensq  12998  hashdvds  13019  phiprmpw  13020  pythagtriplem19  13081  pcprendvds2  13090  pcpremul  13092  pceulem  13093  pceu  13094  pcdiv  13101  pcqmul  13102  pcid  13123  pc2dvds  13129  dvdsprmpweqle  13136  pcaddlem  13138  pcadd  13139  oddprmdvds  13153  pockthlem  13155  4sqlem5  13181  mul4sqlem  13192  4sqlem12  13201  4sqlem15  13204  4sqlem16  13205  4sqlem17  13206  znrrg  15044  logbgcd1irraplemexp  16123  logbgcd1irraplemap  16124  log2tlbndlog2  16139  birthdaylem2  16145  birthdaylem3  16146  pellexlem2  16149  mpodvdsmulf1o  16185  mersenne  16195  perfect  16199  bcmono  16202  bclbnd  16205  bposlem1  16209  bposlem2  16210  bposlem3  16211  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem4  16290  lgsquadlem1  16294  m1lgs  16302  2sqlem3  16334  2sqlem8  16340  cvgcmp2nlemabs  17179  redcwlpolemeq1  17202