Theorem nnap0d 8961

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 8944	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   0cc0 7808   # cap 8534   NNcn 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-inn 8916

This theorem is referenced by:  qtri3or  10238  qbtwnrelemcalc  10251  intfracq  10315  flqdiv  10316  modqmulnn  10337  facndiv  10712  bcn0  10728  bcn1  10731  bcm1k  10733  bcp1n  10734  bcp1nk  10735  bcval5  10736  bcpasc  10739  permnn  10744  divcnv  11498  trireciplem  11501  trirecip  11502  expcnvap0  11503  geo2sum  11515  geo2lim  11517  cvgratnnlemfm  11530  cvgratnnlemrate  11531  mertenslemi1  11536  eftabs  11657  efcllemp  11659  ege2le3  11672  efcj  11674  efaddlem  11675  eftlub  11691  eirraplem  11777  dvdsflip  11849  dvdsgcdidd  11987  mulgcd  12009  gcddiv  12012  sqgcd  12022  lcmgcdlem  12069  qredeu  12089  prmind2  12112  isprm5lem  12133  divgcdodd  12135  sqrt2irrlem  12153  oddpwdclemxy  12161  oddpwdclemodd  12164  oddpwdclemdc  12165  sqrt2irraplemnn  12171  sqrt2irrap  12172  qmuldeneqnum  12187  divnumden  12188  numdensq  12194  hashdvds  12213  phiprmpw  12214  pythagtriplem19  12274  pcprendvds2  12283  pcpremul  12285  pceulem  12286  pceu  12287  pcdiv  12294  pcqmul  12295  pcid  12315  pc2dvds  12321  dvdsprmpweqle  12328  pcaddlem  12330  pcadd  12331  oddprmdvds  12344  pockthlem  12346  4sqlem5  12372  mul4sqlem  12383  logbgcd1irraplemexp  14257  logbgcd1irraplemap  14258  2sqlem3  14324  2sqlem8  14330  cvgcmp2nlemabs  14640  redcwlpolemeq1  14662