Theorem nnap0d 9117

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9100	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   0cc0 7960   # cap 8689   NNcn 9071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-inn 9072

This theorem is referenced by:  qtri3or  10420  qbtwnrelemcalc  10435  intfracq  10502  flqdiv  10503  modqmulnn  10524  facndiv  10921  bcn0  10937  bcn1  10940  bcm1k  10942  bcp1n  10943  bcp1nk  10944  bcval5  10945  bcpasc  10948  permnn  10953  divcnv  11923  trireciplem  11926  trirecip  11927  expcnvap0  11928  geo2sum  11940  geo2lim  11942  cvgratnnlemfm  11955  cvgratnnlemrate  11956  mertenslemi1  11961  eftabs  12082  efcllemp  12084  ege2le3  12097  efcj  12099  efaddlem  12100  eftlub  12116  eirraplem  12203  dvdsflip  12277  bitsp1  12377  bitsfzo  12381  bitsmod  12382  bitscmp  12384  bitsinv1lem  12387  dvdsgcdidd  12430  mulgcd  12452  gcddiv  12455  sqgcd  12465  lcmgcdlem  12514  qredeu  12534  prmind2  12557  isprm5lem  12578  divgcdodd  12580  sqrt2irrlem  12598  oddpwdclemxy  12606  oddpwdclemodd  12609  oddpwdclemdc  12610  sqrt2irraplemnn  12616  sqrt2irrap  12617  qmuldeneqnum  12632  divnumden  12633  numdensq  12639  hashdvds  12658  phiprmpw  12659  pythagtriplem19  12720  pcprendvds2  12729  pcpremul  12731  pceulem  12732  pceu  12733  pcdiv  12740  pcqmul  12741  pcid  12762  pc2dvds  12768  dvdsprmpweqle  12775  pcaddlem  12777  pcadd  12778  oddprmdvds  12792  pockthlem  12794  4sqlem5  12820  mul4sqlem  12831  4sqlem12  12840  4sqlem15  12843  4sqlem16  12844  4sqlem17  12845  znrrg  14537  logbgcd1irraplemexp  15555  logbgcd1irraplemap  15556  mpodvdsmulf1o  15577  mersenne  15584  perfect  15588  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem4  15665  lgsquadlem1  15669  m1lgs  15677  2sqlem3  15709  2sqlem8  15715  cvgcmp2nlemabs  16173  redcwlpolemeq1  16195