Theorem nnap0d 9359

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9342	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   0cc0 8185   # cap 8917   NNcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314

This theorem is used by:  qtri3or  10692  qbtwnrelemcalc  10707  intfracq  10778  flqdiv  10779  modqmulnn  10800  facndiv  11199  bcn0  11215  bcn1  11218  bcm1k  11220  bcp1n  11221  bcp1nk  11222  bcval5  11223  bcpasc  11226  bcm1n  11229  permnn  11232  hashf1  11309  divcnv  12289  trireciplem  12292  trirecip  12293  expcnvap0  12294  geo2sum  12306  geo2lim  12308  cvgratnnlemfm  12321  cvgratnnlemrate  12322  mertenslemi1  12327  eftabs  12448  efcllemp  12450  ege2le3  12463  efcj  12465  efaddlem  12466  eftlub  12482  eirraplem  12569  dvdsflip  12643  bitsp1  12743  bitsfzo  12747  bitsmod  12748  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  dvdsgcdidd  12796  mulgcd  12818  gcddiv  12821  sqgcd  12831  lcmgcdlem  12880  qredeu  12900  prmind2  12923  isprm5lem  12945  divgcdodd  12947  sqrt2irrlem  12965  nnmaxpwlemxy  12973  nnmaxpwlemnfac  12976  nnmaxpwlemparts  12977  sqrt2irraplemnn  12984  sqrt2irrap  12985  qmuldeneqnum  13000  divnumden  13001  numdensq  13007  hashdvds  13028  phiprmpw  13029  pythagtriplem19  13090  pcprendvds2  13099  pcpremul  13101  pceulem  13102  pceu  13103  pcdiv  13110  pcqmul  13111  pcid  13132  pc2dvds  13138  dvdsprmpweqle  13145  pcaddlem  13147  pcadd  13148  oddprmdvds  13162  pockthlem  13164  4sqlem5  13190  mul4sqlem  13201  4sqlem12  13210  4sqlem15  13213  4sqlem16  13214  4sqlem17  13215  znrrg  15104  logbgcd1irraplemexp  16204  logbgcd1irraplemap  16205  log2tlbndlog2  16220  birthdaylem2  16226  birthdaylem3  16227  pellexlem2  16230  mpodvdsmulf1o  16284  mersenne  16297  perfect  16301  bcmono  16304  bclbnd  16307  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem3  16313  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem4  16397  lgsquadlem1  16401  m1lgs  16409  2sqlem3  16441  2sqlem8  16447  cvgcmp2nlemabs  17287  redcwlpolemeq1  17311