Theorem nnap0d 8964

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 8947	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   0cc0 7810   # cap 8537   NNcn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-inn 8919

This theorem is referenced by:  qtri3or  10242  qbtwnrelemcalc  10255  intfracq  10319  flqdiv  10320  modqmulnn  10341  facndiv  10718  bcn0  10734  bcn1  10737  bcm1k  10739  bcp1n  10740  bcp1nk  10741  bcval5  10742  bcpasc  10745  permnn  10750  divcnv  11504  trireciplem  11507  trirecip  11508  expcnvap0  11509  geo2sum  11521  geo2lim  11523  cvgratnnlemfm  11536  cvgratnnlemrate  11537  mertenslemi1  11542  eftabs  11663  efcllemp  11665  ege2le3  11678  efcj  11680  efaddlem  11681  eftlub  11697  eirraplem  11783  dvdsflip  11856  dvdsgcdidd  11994  mulgcd  12016  gcddiv  12019  sqgcd  12029  lcmgcdlem  12076  qredeu  12096  prmind2  12119  isprm5lem  12140  divgcdodd  12142  sqrt2irrlem  12160  oddpwdclemxy  12168  oddpwdclemodd  12171  oddpwdclemdc  12172  sqrt2irraplemnn  12178  sqrt2irrap  12179  qmuldeneqnum  12194  divnumden  12195  numdensq  12201  hashdvds  12220  phiprmpw  12221  pythagtriplem19  12281  pcprendvds2  12290  pcpremul  12292  pceulem  12293  pceu  12294  pcdiv  12301  pcqmul  12302  pcid  12322  pc2dvds  12328  dvdsprmpweqle  12335  pcaddlem  12337  pcadd  12338  oddprmdvds  12351  pockthlem  12353  4sqlem5  12379  mul4sqlem  12390  logbgcd1irraplemexp  14356  logbgcd1irraplemap  14357  lgseisenlem2  14421  m1lgs  14422  2sqlem3  14434  2sqlem8  14440  cvgcmp2nlemabs  14750  redcwlpolemeq1  14772