Theorem nnap0d 9028

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9011	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   0cc0 7872   # cap 8600   NNcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-inn 8983

This theorem is referenced by:  qtri3or  10310  qbtwnrelemcalc  10324  intfracq  10391  flqdiv  10392  modqmulnn  10413  facndiv  10810  bcn0  10826  bcn1  10829  bcm1k  10831  bcp1n  10832  bcp1nk  10833  bcval5  10834  bcpasc  10837  permnn  10842  divcnv  11640  trireciplem  11643  trirecip  11644  expcnvap0  11645  geo2sum  11657  geo2lim  11659  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  mertenslemi1  11678  eftabs  11799  efcllemp  11801  ege2le3  11814  efcj  11816  efaddlem  11817  eftlub  11833  eirraplem  11920  dvdsflip  11993  dvdsgcdidd  12131  mulgcd  12153  gcddiv  12156  sqgcd  12166  lcmgcdlem  12215  qredeu  12235  prmind2  12258  isprm5lem  12279  divgcdodd  12281  sqrt2irrlem  12299  oddpwdclemxy  12307  oddpwdclemodd  12310  oddpwdclemdc  12311  sqrt2irraplemnn  12317  sqrt2irrap  12318  qmuldeneqnum  12333  divnumden  12334  numdensq  12340  hashdvds  12359  phiprmpw  12360  pythagtriplem19  12420  pcprendvds2  12429  pcpremul  12431  pceulem  12432  pceu  12433  pcdiv  12440  pcqmul  12441  pcid  12462  pc2dvds  12468  dvdsprmpweqle  12475  pcaddlem  12477  pcadd  12478  oddprmdvds  12492  pockthlem  12494  4sqlem5  12520  mul4sqlem  12531  4sqlem12  12540  4sqlem15  12543  4sqlem16  12544  4sqlem17  12545  znrrg  14148  logbgcd1irraplemexp  15100  logbgcd1irraplemap  15101  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem4  15189  lgsquadlem1  15191  m1lgs  15192  2sqlem3  15204  2sqlem8  15210  cvgcmp2nlemabs  15522  redcwlpolemeq1  15544