Theorem nnap0d 9082

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9065	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   0cc0 7925   # cap 8654   NNcn 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-inn 9037

This theorem is referenced by:  qtri3or  10383  qbtwnrelemcalc  10398  intfracq  10465  flqdiv  10466  modqmulnn  10487  facndiv  10884  bcn0  10900  bcn1  10903  bcm1k  10905  bcp1n  10906  bcp1nk  10907  bcval5  10908  bcpasc  10911  permnn  10916  divcnv  11808  trireciplem  11811  trirecip  11812  expcnvap0  11813  geo2sum  11825  geo2lim  11827  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  mertenslemi1  11846  eftabs  11967  efcllemp  11969  ege2le3  11982  efcj  11984  efaddlem  11985  eftlub  12001  eirraplem  12088  dvdsflip  12162  bitsp1  12262  bitsfzo  12266  bitsmod  12267  bitscmp  12269  bitsinv1lem  12272  dvdsgcdidd  12315  mulgcd  12337  gcddiv  12340  sqgcd  12350  lcmgcdlem  12399  qredeu  12419  prmind2  12442  isprm5lem  12463  divgcdodd  12465  sqrt2irrlem  12483  oddpwdclemxy  12491  oddpwdclemodd  12494  oddpwdclemdc  12495  sqrt2irraplemnn  12501  sqrt2irrap  12502  qmuldeneqnum  12517  divnumden  12518  numdensq  12524  hashdvds  12543  phiprmpw  12544  pythagtriplem19  12605  pcprendvds2  12614  pcpremul  12616  pceulem  12617  pceu  12618  pcdiv  12625  pcqmul  12626  pcid  12647  pc2dvds  12653  dvdsprmpweqle  12660  pcaddlem  12662  pcadd  12663  oddprmdvds  12677  pockthlem  12679  4sqlem5  12705  mul4sqlem  12716  4sqlem12  12725  4sqlem15  12728  4sqlem16  12729  4sqlem17  12730  znrrg  14422  logbgcd1irraplemexp  15440  logbgcd1irraplemap  15441  mpodvdsmulf1o  15462  mersenne  15469  perfect  15473  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem4  15550  lgsquadlem1  15554  m1lgs  15562  2sqlem3  15594  2sqlem8  15600  cvgcmp2nlemabs  15971  redcwlpolemeq1  15993