Theorem nnap0d 9084

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9067	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   0cc0 7927   # cap 8656   NNcn 9038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-inn 9039

This theorem is referenced by:  qtri3or  10385  qbtwnrelemcalc  10400  intfracq  10467  flqdiv  10468  modqmulnn  10489  facndiv  10886  bcn0  10902  bcn1  10905  bcm1k  10907  bcp1n  10908  bcp1nk  10909  bcval5  10910  bcpasc  10913  permnn  10918  divcnv  11841  trireciplem  11844  trirecip  11845  expcnvap0  11846  geo2sum  11858  geo2lim  11860  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemi1  11879  eftabs  12000  efcllemp  12002  ege2le3  12015  efcj  12017  efaddlem  12018  eftlub  12034  eirraplem  12121  dvdsflip  12195  bitsp1  12295  bitsfzo  12299  bitsmod  12300  bitscmp  12302  bitsinv1lem  12305  dvdsgcdidd  12348  mulgcd  12370  gcddiv  12373  sqgcd  12383  lcmgcdlem  12432  qredeu  12452  prmind2  12475  isprm5lem  12496  divgcdodd  12498  sqrt2irrlem  12516  oddpwdclemxy  12524  oddpwdclemodd  12527  oddpwdclemdc  12528  sqrt2irraplemnn  12534  sqrt2irrap  12535  qmuldeneqnum  12550  divnumden  12551  numdensq  12557  hashdvds  12576  phiprmpw  12577  pythagtriplem19  12638  pcprendvds2  12647  pcpremul  12649  pceulem  12650  pceu  12651  pcdiv  12658  pcqmul  12659  pcid  12680  pc2dvds  12686  dvdsprmpweqle  12693  pcaddlem  12695  pcadd  12696  oddprmdvds  12710  pockthlem  12712  4sqlem5  12738  mul4sqlem  12749  4sqlem12  12758  4sqlem15  12761  4sqlem16  12762  4sqlem17  12763  znrrg  14455  logbgcd1irraplemexp  15473  logbgcd1irraplemap  15474  mpodvdsmulf1o  15495  mersenne  15502  perfect  15506  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem4  15583  lgsquadlem1  15587  m1lgs  15595  2sqlem3  15627  2sqlem8  15633  cvgcmp2nlemabs  16008  redcwlpolemeq1  16030