Theorem nnap0d 9156

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9139	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   0cc0 7999   # cap 8728   NNcn 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-inn 9111

This theorem is referenced by:  qtri3or  10460  qbtwnrelemcalc  10475  intfracq  10542  flqdiv  10543  modqmulnn  10564  facndiv  10961  bcn0  10977  bcn1  10980  bcm1k  10982  bcp1n  10983  bcp1nk  10984  bcval5  10985  bcpasc  10988  permnn  10993  divcnv  12008  trireciplem  12011  trirecip  12012  expcnvap0  12013  geo2sum  12025  geo2lim  12027  cvgratnnlemfm  12040  cvgratnnlemrate  12041  mertenslemi1  12046  eftabs  12167  efcllemp  12169  ege2le3  12182  efcj  12184  efaddlem  12185  eftlub  12201  eirraplem  12288  dvdsflip  12362  bitsp1  12462  bitsfzo  12466  bitsmod  12467  bitscmp  12469  bitsinv1lem  12472  dvdsgcdidd  12515  mulgcd  12537  gcddiv  12540  sqgcd  12550  lcmgcdlem  12599  qredeu  12619  prmind2  12642  isprm5lem  12663  divgcdodd  12665  sqrt2irrlem  12683  oddpwdclemxy  12691  oddpwdclemodd  12694  oddpwdclemdc  12695  sqrt2irraplemnn  12701  sqrt2irrap  12702  qmuldeneqnum  12717  divnumden  12718  numdensq  12724  hashdvds  12743  phiprmpw  12744  pythagtriplem19  12805  pcprendvds2  12814  pcpremul  12816  pceulem  12817  pceu  12818  pcdiv  12825  pcqmul  12826  pcid  12847  pc2dvds  12853  dvdsprmpweqle  12860  pcaddlem  12862  pcadd  12863  oddprmdvds  12877  pockthlem  12879  4sqlem5  12905  mul4sqlem  12916  4sqlem12  12925  4sqlem15  12928  4sqlem16  12929  4sqlem17  12930  znrrg  14624  logbgcd1irraplemexp  15642  logbgcd1irraplemap  15643  mpodvdsmulf1o  15664  mersenne  15671  perfect  15675  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem4  15752  lgsquadlem1  15756  m1lgs  15764  2sqlem3  15796  2sqlem8  15802  cvgcmp2nlemabs  16400  redcwlpolemeq1  16422