Theorem nnap0d 8903

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 8886	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   0cc0 7753   # cap 8479   NNcn 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-inn 8858

This theorem is referenced by:  qtri3or  10178  qbtwnrelemcalc  10191  intfracq  10255  flqdiv  10256  modqmulnn  10277  facndiv  10652  bcn0  10668  bcn1  10671  bcm1k  10673  bcp1n  10674  bcp1nk  10675  bcval5  10676  bcpasc  10679  permnn  10684  divcnv  11438  trireciplem  11441  trirecip  11442  expcnvap0  11443  geo2sum  11455  geo2lim  11457  cvgratnnlemfm  11470  cvgratnnlemrate  11471  mertenslemi1  11476  eftabs  11597  efcllemp  11599  ege2le3  11612  efcj  11614  efaddlem  11615  eftlub  11631  eirraplem  11717  dvdsflip  11789  dvdsgcdidd  11927  mulgcd  11949  gcddiv  11952  sqgcd  11962  lcmgcdlem  12009  qredeu  12029  prmind2  12052  isprm5lem  12073  divgcdodd  12075  sqrt2irrlem  12093  oddpwdclemxy  12101  oddpwdclemodd  12104  oddpwdclemdc  12105  sqrt2irraplemnn  12111  sqrt2irrap  12112  qmuldeneqnum  12127  divnumden  12128  numdensq  12134  hashdvds  12153  phiprmpw  12154  pythagtriplem19  12214  pcprendvds2  12223  pcpremul  12225  pceulem  12226  pceu  12227  pcdiv  12234  pcqmul  12235  pcid  12255  pc2dvds  12261  dvdsprmpweqle  12268  pcaddlem  12270  pcadd  12271  oddprmdvds  12284  pockthlem  12286  4sqlem5  12312  mul4sqlem  12323  logbgcd1irraplemexp  13526  logbgcd1irraplemap  13527  2sqlem3  13593  2sqlem8  13599  cvgcmp2nlemabs  13911  redcwlpolemeq1  13933