Theorem nnap0d 9189

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 9172	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   0cc0 8032   # cap 8761   NNcn 9143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144

This theorem is referenced by:  qtri3or  10501  qbtwnrelemcalc  10516  intfracq  10583  flqdiv  10584  modqmulnn  10605  facndiv  11002  bcn0  11018  bcn1  11021  bcm1k  11023  bcp1n  11024  bcp1nk  11025  bcval5  11026  bcpasc  11029  permnn  11034  divcnv  12076  trireciplem  12079  trirecip  12080  expcnvap0  12081  geo2sum  12093  geo2lim  12095  cvgratnnlemfm  12108  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemi1  12114  eftabs  12235  efcllemp  12237  ege2le3  12250  efcj  12252  efaddlem  12253  eftlub  12269  eirraplem  12356  dvdsflip  12430  bitsp1  12530  bitsfzo  12534  bitsmod  12535  bitscmp  12537  bitsinv1lem  12540  dvdsgcdidd  12583  mulgcd  12605  gcddiv  12608  sqgcd  12618  lcmgcdlem  12667  qredeu  12687  prmind2  12710  isprm5lem  12731  divgcdodd  12733  sqrt2irrlem  12751  oddpwdclemxy  12759  oddpwdclemodd  12762  oddpwdclemdc  12763  sqrt2irraplemnn  12769  sqrt2irrap  12770  qmuldeneqnum  12785  divnumden  12786  numdensq  12792  hashdvds  12811  phiprmpw  12812  pythagtriplem19  12873  pcprendvds2  12882  pcpremul  12884  pceulem  12885  pceu  12886  pcdiv  12893  pcqmul  12894  pcid  12915  pc2dvds  12921  dvdsprmpweqle  12928  pcaddlem  12930  pcadd  12931  oddprmdvds  12945  pockthlem  12947  4sqlem5  12973  mul4sqlem  12984  4sqlem12  12993  4sqlem15  12996  4sqlem16  12997  4sqlem17  12998  znrrg  14693  logbgcd1irraplemexp  15711  logbgcd1irraplemap  15712  mpodvdsmulf1o  15733  mersenne  15740  perfect  15744  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem4  15821  lgsquadlem1  15825  m1lgs  15833  2sqlem3  15865  2sqlem8  15871  cvgcmp2nlemabs  16687  redcwlpolemeq1  16710