Theorem nnap0d 8965

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnap0 8948	. 2 |- ( A e. NN -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   0cc0 7811   # cap 8538   NNcn 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-inn 8920

This theorem is referenced by:  qtri3or  10243  qbtwnrelemcalc  10256  intfracq  10320  flqdiv  10321  modqmulnn  10342  facndiv  10719  bcn0  10735  bcn1  10738  bcm1k  10740  bcp1n  10741  bcp1nk  10742  bcval5  10743  bcpasc  10746  permnn  10751  divcnv  11505  trireciplem  11508  trirecip  11509  expcnvap0  11510  geo2sum  11522  geo2lim  11524  cvgratnnlemfm  11537  cvgratnnlemrate  11538  mertenslemi1  11543  eftabs  11664  efcllemp  11666  ege2le3  11679  efcj  11681  efaddlem  11682  eftlub  11698  eirraplem  11784  dvdsflip  11857  dvdsgcdidd  11995  mulgcd  12017  gcddiv  12020  sqgcd  12030  lcmgcdlem  12077  qredeu  12097  prmind2  12120  isprm5lem  12141  divgcdodd  12143  sqrt2irrlem  12161  oddpwdclemxy  12169  oddpwdclemodd  12172  oddpwdclemdc  12173  sqrt2irraplemnn  12179  sqrt2irrap  12180  qmuldeneqnum  12195  divnumden  12196  numdensq  12202  hashdvds  12221  phiprmpw  12222  pythagtriplem19  12282  pcprendvds2  12291  pcpremul  12293  pceulem  12294  pceu  12295  pcdiv  12302  pcqmul  12303  pcid  12323  pc2dvds  12329  dvdsprmpweqle  12336  pcaddlem  12338  pcadd  12339  oddprmdvds  12352  pockthlem  12354  4sqlem5  12380  mul4sqlem  12391  logbgcd1irraplemexp  14389  logbgcd1irraplemap  14390  lgseisenlem2  14454  m1lgs  14455  2sqlem3  14467  2sqlem8  14473  cvgcmp2nlemabs  14783  redcwlpolemeq1  14805