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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prodfap0 | Unicode version |
Description: The product of finitely many terms apart from zero is apart from zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Mar-2024.) |
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prodfap0.1 |
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prodfap0.2 |
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prodfap0.3 |
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prodfap0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prodfap0.1 |
. . 3
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2 | eluzfz2 10046 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | fveq2 5527 |
. . . . 5
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5 | 4 | breq1d 4025 |
. . . 4
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6 | 5 | imbi2d 230 |
. . 3
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7 | fveq2 5527 |
. . . . 5
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8 | 7 | breq1d 4025 |
. . . 4
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9 | 8 | imbi2d 230 |
. . 3
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10 | fveq2 5527 |
. . . . 5
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11 | 10 | breq1d 4025 |
. . . 4
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12 | 11 | imbi2d 230 |
. . 3
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13 | fveq2 5527 |
. . . . 5
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14 | 13 | breq1d 4025 |
. . . 4
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15 | 14 | imbi2d 230 |
. . 3
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16 | eluzfz1 10045 |
. . . 4
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17 | elfzelz 10039 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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19 | prodfap0.2 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | adantlr 477 |
. . . . . . 7
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21 | mulcl 7952 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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23 | 18, 20, 22 | seq3-1 10474 |
. . . . . 6
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24 | fveq2 5527 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | breq1d 4025 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | imbi2d 230 |
. . . . . . . 8
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27 | prodfap0.3 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | expcom 116 |
. . . . . . . 8
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29 | 26, 28 | vtoclga 2815 |
. . . . . . 7
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30 | 29 | impcom 125 |
. . . . . 6
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31 | 23, 30 | eqbrtrd 4037 |
. . . . 5
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32 | 31 | expcom 116 |
. . . 4
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33 | 16, 32 | syl 14 |
. . 3
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34 | elfzouz 10165 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | 3ad2ant2 1020 |
. . . . . . . 8
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36 | 19 | 3ad2antl1 1160 |
. . . . . . . 8
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37 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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38 | 35, 36, 37 | seq3p1 10476 |
. . . . . . 7
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39 | elfzofz 10176 |
. . . . . . . . . 10
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40 | elfzuz 10035 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | eqid 2187 |
. . . . . . . . . . . . 13
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42 | 1, 16, 17 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | 41, 42, 19 | prodf 11560 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 43 | ffvelcdmda 5664 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 40, 44 | sylan2 286 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 39, 45 | sylan2 286 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | 3adant3 1018 |
. . . . . . . 8
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48 | fzofzp1 10241 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | fveq2 5527 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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50 | 49 | eleq1d 2256 |
. . . . . . . . . . . . 13
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51 | 50 | imbi2d 230 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | elfzuz 10035 |
. . . . . . . . . . . . 13
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53 | 19 | expcom 116 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 52, 53 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 51, 54 | vtoclga 2815 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 48, 55 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 56 | impcom 125 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | 3adant3 1018 |
. . . . . . . 8
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59 | simp3 1000 |
. . . . . . . 8
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60 | 49 | breq1d 4025 |
. . . . . . . . . . . . 13
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61 | 60 | imbi2d 230 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | 61, 28 | vtoclga 2815 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | 62 | impcom 125 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 48, 63 | sylan2 286 |
. . . . . . . . 9
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65 | 64 | 3adant3 1018 |
. . . . . . . 8
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66 | 47, 58, 59, 65 | mulap0d 8629 |
. . . . . . 7
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67 | 38, 66 | eqbrtrd 4037 |
. . . . . 6
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68 | 67 | 3exp 1203 |
. . . . 5
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69 | 68 | com12 30 |
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70 | 69 | a2d 26 |
. . 3
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71 | 6, 9, 12, 15, 33, 70 | fzind2 10253 |
. 2
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72 | 3, 71 | mpcom 36 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-frec 6406 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-inn 8934 df-n0 9191 df-z 9268 df-uz 9543 df-fz 10023 df-fzo 10157 df-seqfrec 10460 |
This theorem is referenced by: prodfrecap 11568 prodfdivap 11569 |
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