Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodfap0 Unicode version

Theorem prodfap0 11321
 Description: The product of finitely many terms apart from zero is apart from zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfap0.1
prodfap0.2
prodfap0.3 #
Assertion
Ref Expression
prodfap0 #
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem prodfap0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfap0.1 . . 3
2 eluzfz2 9819 . . 3
31, 2syl 14 . 2
4 fveq2 5421 . . . . 5
54breq1d 3939 . . . 4 # #
65imbi2d 229 . . 3 # #
7 fveq2 5421 . . . . 5
87breq1d 3939 . . . 4 # #
98imbi2d 229 . . 3 # #
10 fveq2 5421 . . . . 5
1110breq1d 3939 . . . 4 # #
1211imbi2d 229 . . 3 # #
13 fveq2 5421 . . . . 5
1413breq1d 3939 . . . 4 # #
1514imbi2d 229 . . 3 # #
16 eluzfz1 9818 . . . 4
17 elfzelz 9813 . . . . . . . 8
1817adantl 275 . . . . . . 7
19 prodfap0.2 . . . . . . . 8
2019adantlr 468 . . . . . . 7
21 mulcl 7754 . . . . . . . 8
2221adantl 275 . . . . . . 7
2318, 20, 22seq3-1 10240 . . . . . 6
24 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10
2524breq1d 3939 . . . . . . . . 9 # #
2625imbi2d 229 . . . . . . . 8 # #
27 prodfap0.3 . . . . . . . . 9 #
2827expcom 115 . . . . . . . 8 #
2926, 28vtoclga 2752 . . . . . . 7 #
3029impcom 124 . . . . . 6 #
3123, 30eqbrtrd 3950 . . . . 5 #
3231expcom 115 . . . 4 #
3316, 32syl 14 . . 3 #
34 elfzouz 9935 . . . . . . . . 9 ..^
35343ad2ant2 1003 . . . . . . . 8 ..^ #
36193ad2antl1 1143 . . . . . . . 8 ..^ #
3721adantl 275 . . . . . . . 8 ..^ #
3835, 36, 37seq3p1 10242 . . . . . . 7 ..^ #
39 elfzofz 9946 . . . . . . . . . 10 ..^
40 elfzuz 9809 . . . . . . . . . . 11
41 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . 13
421, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42, 19prodf 11314 . . . . . . . . . . . 12
4443ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . 11
4540, 44sylan2 284 . . . . . . . . . 10
4639, 45sylan2 284 . . . . . . . . 9 ..^
47463adant3 1001 . . . . . . . 8 ..^ #
48 fzofzp1 10011 . . . . . . . . . . 11 ..^
49 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . 14
5049eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . 13
5150imbi2d 229 . . . . . . . . . . . 12
52 elfzuz 9809 . . . . . . . . . . . . 13
5319expcom 115 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53syl 14 . . . . . . . . . . . 12
5551, 54vtoclga 2752 . . . . . . . . . . 11
5648, 55syl 14 . . . . . . . . . 10 ..^
5756impcom 124 . . . . . . . . 9 ..^
58573adant3 1001 . . . . . . . 8 ..^ #
59 simp3 983 . . . . . . . 8 ..^ # #
6049breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . 13 # #
6160imbi2d 229 . . . . . . . . . . . 12 # #
6261, 28vtoclga 2752 . . . . . . . . . . 11 #
6362impcom 124 . . . . . . . . . 10 #
6448, 63sylan2 284 . . . . . . . . 9 ..^ #
65643adant3 1001 . . . . . . . 8 ..^ # #
6647, 58, 59, 65mulap0d 8426 . . . . . . 7 ..^ # #
6738, 66eqbrtrd 3950 . . . . . 6 ..^ # #
68673exp 1180 . . . . 5 ..^ # #
6968com12 30 . . . 4 ..^ # #
7069a2d 26 . . 3 ..^ # #
716, 9, 12, 15, 33, 70fzind2 10023 . 2 #
723, 71mpcom 36 1 #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cc0 7627  c1 7628   caddc 7630   cmul 7632   # cap 8350  cz 9061  cuz 9333  cfz 9797  ..^cfzo 9926   cseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  prodfrecap  11322  prodfdivap  11323
 Copyright terms: Public domain W3C validator