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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prodfap0 | Unicode version |
Description: The product of finitely many terms apart from zero is apart from zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Mar-2024.) |
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prodfap0.1 |
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prodfap0.2 |
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prodfap0.3 |
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prodfap0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prodfap0.1 |
. . 3
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2 | eluzfz2 9843 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | fveq2 5429 |
. . . . 5
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5 | 4 | breq1d 3947 |
. . . 4
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6 | 5 | imbi2d 229 |
. . 3
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7 | fveq2 5429 |
. . . . 5
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8 | 7 | breq1d 3947 |
. . . 4
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9 | 8 | imbi2d 229 |
. . 3
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10 | fveq2 5429 |
. . . . 5
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11 | 10 | breq1d 3947 |
. . . 4
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12 | 11 | imbi2d 229 |
. . 3
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13 | fveq2 5429 |
. . . . 5
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14 | 13 | breq1d 3947 |
. . . 4
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15 | 14 | imbi2d 229 |
. . 3
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16 | eluzfz1 9842 |
. . . 4
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17 | elfzelz 9837 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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19 | prodfap0.2 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | adantlr 469 |
. . . . . . 7
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21 | mulcl 7771 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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23 | 18, 20, 22 | seq3-1 10264 |
. . . . . 6
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24 | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | breq1d 3947 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | imbi2d 229 |
. . . . . . . 8
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27 | prodfap0.3 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | expcom 115 |
. . . . . . . 8
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29 | 26, 28 | vtoclga 2755 |
. . . . . . 7
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30 | 29 | impcom 124 |
. . . . . 6
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31 | 23, 30 | eqbrtrd 3958 |
. . . . 5
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32 | 31 | expcom 115 |
. . . 4
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33 | 16, 32 | syl 14 |
. . 3
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34 | elfzouz 9959 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . 8
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36 | 19 | 3ad2antl1 1144 |
. . . . . . . 8
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37 | 21 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
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38 | 35, 36, 37 | seq3p1 10266 |
. . . . . . 7
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39 | elfzofz 9970 |
. . . . . . . . . 10
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40 | elfzuz 9833 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | eqid 2140 |
. . . . . . . . . . . . 13
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42 | 1, 16, 17 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | 41, 42, 19 | prodf 11339 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 43 | ffvelrnda 5563 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 40, 44 | sylan2 284 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 39, 45 | sylan2 284 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . 8
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48 | fzofzp1 10035 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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50 | 49 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . . . . . 13
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51 | 50 | imbi2d 229 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | elfzuz 9833 |
. . . . . . . . . . . . 13
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53 | 19 | expcom 115 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 52, 53 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 51, 54 | vtoclga 2755 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 48, 55 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 56 | impcom 124 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . 8
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59 | simp3 984 |
. . . . . . . 8
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60 | 49 | breq1d 3947 |
. . . . . . . . . . . . 13
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61 | 60 | imbi2d 229 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | 61, 28 | vtoclga 2755 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | 62 | impcom 124 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 48, 63 | sylan2 284 |
. . . . . . . . 9
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65 | 64 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . 8
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66 | 47, 58, 59, 65 | mulap0d 8443 |
. . . . . . 7
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67 | 38, 66 | eqbrtrd 3958 |
. . . . . 6
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68 | 67 | 3exp 1181 |
. . . . 5
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69 | 68 | com12 30 |
. . . 4
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70 | 69 | a2d 26 |
. . 3
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71 | 6, 9, 12, 15, 33, 70 | fzind2 10047 |
. 2
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72 | 3, 71 | mpcom 36 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 |
This theorem is referenced by: prodfrecap 11347 prodfdivap 11348 |
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