Theorem pfxsuffeqwrdeq 11394

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	|- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 11269	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
2	1	3adant3 1044	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
3		elfzofz 10501	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4		fzosplit 10517	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
8	7	raleqdv 2749	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
9		ralunb 3402	. . . . 5 |- ( A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
11		eqidd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I = I )
12		3simpa 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
14		elfzonn0 10529	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. NN0 )
15	14, 14	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
16	15	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
18		elfzo0le 10528	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
19	18	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
21		breq2 4115	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
23	20, 22	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` S ) )
24		pfxeq 11392	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) /\ ( I <_ (♯ ` W ) /\ I <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
26	11, 25	mpbirand 441	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
27		lencl 11232	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
28	27, 14	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
29	28	3adant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
31	27	nn0red 9556	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. RR )
32	31	leidd 8790	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
34		eqle 8367	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. RR /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
35	31, 34	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
36	33, 35	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
37	36	3ad2antl1 1186	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
38		swrdspsleq 11363	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) /\ ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
40	26, 39	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
41	10, 40	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) )
42	41	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )
43	2, 42	bitrd 188	1 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   u. cun 3211   <.cop 3694   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   <_ cle 8311   NN0cn0 9498   ...cfz 10345  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142  Word cword 11228   substr csubstr 11341   prefix cpfx 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-substr 11342  df-pfx 11369

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11395