Theorem pfxsuffeqwrdeq 11230

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	|- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 11112	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
2	1	3adant3 1041	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
3		elfzofz 10359	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4		fzosplit 10375	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
8	7	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
9		ralunb 3385	. . . . 5 |- ( A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
11		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I = I )
12		3simpa 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
14		elfzonn0 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. NN0 )
15	14, 14	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
16	15	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
18		elfzo0le 10385	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
19	18	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
21		breq2 4087	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
23	20, 22	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` S ) )
24		pfxeq 11228	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) /\ ( I <_ (♯ ` W ) /\ I <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
26	11, 25	mpbirand 441	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
27		lencl 11075	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
28	27, 14	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
29	28	3adant2 1040	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
31	27	nn0red 9423	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. RR )
32	31	leidd 8661	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
34		eqle 8238	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. RR /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
35	31, 34	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
36	33, 35	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
37	36	3ad2antl1 1183	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
38		swrdspsleq 11199	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) /\ ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
40	26, 39	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
41	10, 40	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) )
42	41	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )
43	2, 42	bitrd 188	1 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   u. cun 3195   <.cop 3669   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   <_ cle 8182   NN0cn0 9369   ...cfz 10204  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997  Word cword 11071   substr csubstr 11177   prefix cpfx 11204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-substr 11178  df-pfx 11205

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11231