Theorem pfxsuffeqwrdeq 11283

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	|- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 11158	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
2	1	3adant3 1043	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
3		elfzofz 10398	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4		fzosplit 10414	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 1046	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
8	7	raleqdv 2736	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
9		ralunb 3388	. . . . 5 |- ( A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
11		eqidd 2232	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I = I )
12		3simpa 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
14		elfzonn0 10426	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. NN0 )
15	14, 14	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
16	15	3ad2ant3 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
18		elfzo0le 10425	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
19	18	3ad2ant3 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
21		breq2 4092	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
23	20, 22	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` S ) )
24		pfxeq 11281	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) /\ ( I <_ (♯ ` W ) /\ I <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
26	11, 25	mpbirand 441	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
27		lencl 11121	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
28	27, 14	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
29	28	3adant2 1042	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
31	27	nn0red 9456	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. RR )
32	31	leidd 8694	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
34		eqle 8271	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. RR /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
35	31, 34	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
36	33, 35	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
37	36	3ad2antl1 1185	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
38		swrdspsleq 11252	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) /\ ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
40	26, 39	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
41	10, 40	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) )
42	41	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )
43	2, 42	bitrd 188	1 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   u. cun 3198   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   RRcr 8031   0cc0 8032   <_ cle 8215   NN0cn0 9402   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117   substr csubstr 11230   prefix cpfx 11257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-substr 11231  df-pfx 11258

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11284