Theorem pfxsuffeqwrdeq 11152

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	|- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 11036	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
2	1	3adant3 1020	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
3		elfzofz 10287	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4		fzosplit 10303	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 1023	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) = ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) )
8	7	raleqdv 2708	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
9		ralunb 3354	. . . . 5 |- ( A. i e. ( ( 0..^ I ) u. ( I..^ (♯ ` W ) ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
11		eqidd 2206	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I = I )
12		3simpa 997	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( W e. Word V /\ S e. Word V ) )
14		elfzonn0 10312	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I e. NN0 )
15	14, 14	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
16	15	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
18		elfzo0le 10311	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
19	18	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` W ) )
21		breq2 4049	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I <_ (♯ ` W ) <-> I <_ (♯ ` S ) ) )
23	20, 22	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> I <_ (♯ ` S ) )
24		pfxeq 11150	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ I e. NN0 ) /\ ( I <_ (♯ ` W ) /\ I <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1254	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> ( I = I /\ A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
26	11, 25	mpbirand 441	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) <-> A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
27		lencl 11000	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
28	27, 14	anim12ci 339	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
29	28	3adant2 1019	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) )
31	27	nn0red 9351	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. RR )
32	31	leidd 8589	. . . . . . . . 9 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) )
34		eqle 8166	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. RR /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
35	31, 34	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) )
36	33, 35	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
37	36	3ad2antl1 1162	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) )
38		swrdspsleq 11123	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V ) /\ ( I e. NN0 /\ (♯ ` W ) e. NN0 ) /\ ( (♯ ` W ) <_ (♯ ` W ) /\ (♯ ` W ) <_ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) <-> A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) )
40	26, 39	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ I ) ( W ` i ) = ( S ` i ) /\ A. i e. ( I..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) ) )
41	10, 40	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) /\ (♯ ` W ) = (♯ ` S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) <-> ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) )
42	41	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ( W ` i ) = ( S ` i ) ) <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )
43	2, 42	bitrd 188	1 |- ( ( W e. Word V /\ S e. Word V /\ I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W = S <-> ( (♯ ` W ) = (♯ ` S ) /\ ( ( W prefix I ) = ( S prefix I ) /\ ( W substr <. I , (♯ ` W ) >. ) = ( S substr <. I , (♯ ` W ) >. ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   u. cun 3164   <.cop 3636   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   <_ cle 8110   NN0cn0 9297   ...cfz 10132  ..^cfzo 10266  ♯chash 10922  Word cword 10996   substr csubstr 11101   prefix cpfx 11128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-ihash 10923  df-word 10997  df-substr 11102  df-pfx 11129

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11153