Theorem elfzonelfzo 10648

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10557	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 9931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		eluzel2 9926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfzo 10556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
12		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝐾)
14	13	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
15	11, 14	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑁))
16	15	notbid 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
17	9	zred 9768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	6	zred 9768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
19	17, 18	lenltd 8444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
20	16, 19	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝐾))
21	20	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾))
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)))
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)))
24	23	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)))
25	24	imp31 256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ 𝐾)
26		eluz2 9927	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28		simpll2 1068	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
29		simpll3 1069	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
30		elfzo2 10557	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
32	31	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
33	1, 32	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
34	33	com12 30	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ..^cfzo 10549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550

This theorem is used by:  pfxccatin12lem4  11498  pfxccatin12lem2a  11499  pfxccatin12lem1  11500