ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo GIF version

Theorem elfzonelfzo 10014
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 9934 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 9342 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
433ad2ant1 1002 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
54ad2antrr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
63adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 eluzel2 9338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfzo 9933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
116, 8, 9, 10syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
12 eluzle 9345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
1312adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀𝐾)
1413biantrurd 303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
1511, 14bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑁))
1615notbid 656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
179zred 9180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
186zred 9180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1917, 18lenltd 7887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
2016, 19bitr4d 190 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
2120biimpd 143 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾))
2221ex 114 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾)))
2322com23 78 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
24233ad2ant1 1002 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
2524imp31 254 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁𝐾)
26 eluz2 9339 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾))
272, 5, 25, 26syl3anbrc 1165 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
28 simpll2 1021 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpll3 1022 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
30 elfzo2 9934 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
3127, 28, 29, 30syl3anbrc 1165 . . . 4 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
3231ex 114 . . 3 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
331, 32sylanb 282 . 2 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
3433com12 30 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774   < clt 7807  cle 7808  cz 9061  cuz 9333  ..^cfzo 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator