Theorem elfzonelfzo 10186

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10106	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		eluzel2 9492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfzo 10105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
12		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝐾)
14	13	biantrurd 303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
15	11, 14	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑁))
16	15	notbid 662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
17	9	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	6	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
19	17, 18	lenltd 8037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
20	16, 19	bitr4d 190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝐾))
21	20	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾))
22	21	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)))
23	22	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)))
24	23	3ad2ant1 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)))
25	24	imp31 254	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ 𝐾)
26		eluz2 9493	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
27	2, 5, 25, 26	syl3anbrc 1176	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28		simpll2 1032	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
29		simpll3 1033	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
30		elfzo2 10106	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
31	27, 28, 29, 30	syl3anbrc 1176	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
32	31	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
33	1, 32	sylanb 282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
34	33	com12 30	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by: (None)