Theorem elpqb 9718

Description: A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpqb	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) <-> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpq 9717	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		nnz 9339	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
3		znq 9692	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. QQ )
5		nnre 8991	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
6		nngt0 9009	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> 0 < x )
7	5, 6	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
8		nnre 8991	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
9		nngt0 9009	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	8, 9	jca 306	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ 0 < y ) )
11		divgt0 8893	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> 0 < ( x / y ) )
12	7, 10, 11	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> 0 < ( x / y ) )
13	4, 12	jca 306	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x / y ) e. QQ /\ 0 < ( x / y ) ) )
14		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. QQ <-> ( x / y ) e. QQ ) )
15		breq2 4034	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( x / y ) ) )
16	14, 15	anbi12d 473	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) <-> ( ( x / y ) e. QQ /\ 0 < ( x / y ) ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A e. QQ /\ 0 < A ) ) )
18	17	rexlimivv 2617	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A e. QQ /\ 0 < A ) )
19	1, 18	impbii 126	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) <-> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   < clt 8056   / cdiv 8693   NNcn 8984   ZZcz 9320   QQcq 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-z 9321  df-q 9688

This theorem is referenced by: (None)