Theorem elpqb 9982

Description: A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpqb	|- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) <-> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem elpqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpq 9981	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) -> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		nnz 9596	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
3		znq 9956	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. QQ )
5		nnre 9244	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
6		nngt0 9262	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> 0 < x )
7	5, 6	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
8		nnre 9244	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
9		nngt0 9262	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 < y )
10	8, 9	jca 306	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ 0 < y ) )
11		divgt0 9146	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> 0 < ( x / y ) )
12	7, 10, 11	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> 0 < ( x / y ) )
13	4, 12	jca 306	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x / y ) e. QQ /\ 0 < ( x / y ) ) )
14		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. QQ <-> ( x / y ) e. QQ ) )
15		breq2 4113	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 < A <-> 0 < ( x / y ) ) )
16	14, 15	anbi12d 473	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) <-> ( ( x / y ) e. QQ /\ 0 < ( x / y ) ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A e. QQ /\ 0 < A ) ) )
18	17	rexlimivv 2666	. 2 |- ( E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A e. QQ /\ 0 < A ) )
19	1, 18	impbii 126	1 |- ( ( A e. QQ /\ 0 < A ) <-> E. x e. NN E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   < clt 8308   / cdiv 8946   NNcn 9237   ZZcz 9577   QQcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by: (None)