Theorem pcadd 13097

Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcadd.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcadd.2	|- ( ph -> A e. QQ )
pcadd.3	|- ( ph -> B e. QQ )
pcadd.4	|- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )

Assertion

Ref	Expression
pcadd	|- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcadd

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcadd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		elq 10001	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
4		pcadd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
5		elq 10001	. . 3 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
6	4, 5	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
7		pcadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
8		pcxcl 13068	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. QQ ) -> ( P pCnt A ) e. RR* )
9	7, 1, 8	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt A ) e. RR* )
10	9	xrleidd 10182	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt A ) )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt A ) )
12		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( B = 0 -> ( A + B ) = ( A + 0 ) )
13		qcn 10013	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
14	1, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
15	14	addridd 8465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
16	12, 15	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( A + B ) = A )
17	16	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt A ) )
18	11, 17	breqtrrd 4153	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
19	18	a1d 22	. . 3 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
20		reeanv 2721	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. z e. ZZ ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) )
21		reeanv 2721	. . . . . 6 |- ( E. y e. NN E. w e. NN ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) <-> ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) )
22	7	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. Prime )
23		prmnn 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. NN )
25		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x e. ZZ )
26		simprrl 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A = ( x / y ) )
27		pc0 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
28	22, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
29	4	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B e. QQ )
30		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B =/= 0 )
31		pcqcl 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. Prime /\ ( B e. QQ /\ B =/= 0 ) ) -> ( P pCnt B ) e. ZZ )
32	22, 29, 30, 31	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. ZZ )
33	32	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. RR )
34	33	ltpnfd 10162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) < +oo )
35		pnfxr 8368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- +oo e. RR*
36	33	rexrd 8365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. RR* )
37		xrlenlt 8380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( P pCnt B ) e. RR* ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) <-> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
38	35, 36, 37	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) <-> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
39	38	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) -> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
40	34, 39	mt2d 634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. +oo <_ ( P pCnt B ) )
41	28, 40	eqnbrtrd 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) )
42		pcadd.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )
43	42	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )
44		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A = 0 -> ( P pCnt A ) = ( P pCnt 0 ) )
45	44	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = 0 -> ( ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) <-> ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) ) )
46	43, 45	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A = 0 -> ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) ) )
47	46	necon3bd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( -. ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) -> A =/= 0 ) )
48	41, 47	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A =/= 0 )
49	26, 48	eqnetrrd 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x / y ) =/= 0 )
50		simprll 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. NN )
51	50	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. CC )
52	50	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y # 0 )
53	51, 52	div0apd 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( 0 / y ) = 0 )
54		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( x / y ) = ( 0 / y ) )
55	54	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( x / y ) = 0 <-> ( 0 / y ) = 0 ) )
56	53, 55	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x = 0 -> ( x / y ) = 0 ) )
57	56	necon3d 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / y ) =/= 0 -> x =/= 0 ) )
58	49, 57	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x =/= 0 )
59		pczcl 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( P pCnt x ) e. NN0 )
60	22, 25, 58, 59	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt x ) e. NN0 )
61	24, 60	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. NN )
62	61	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC )
63	62, 51	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) = ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
64	63	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
65	25	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x e. CC )
66	61	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 )
67	62, 66	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) )
68	51, 52	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
69	22, 50	pccld 13057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt y ) e. NN0 )
70	24, 69	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. NN )
71	70	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC )
72	70	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 )
73	71, 72	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) )
74		divdivdivap 9033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) )
75	65, 67, 68, 73, 74	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) )
76	26	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) = ( P pCnt ( x / y ) ) )
77		pcdiv 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( P pCnt ( x / y ) ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
78	22, 25, 58, 50, 77	syl121anc 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt ( x / y ) ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
79	76, 78	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
80	79	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( P ^ ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) ) )
81	24	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. CC )
82	24	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P # 0 )
83	69	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt y ) e. ZZ )
84	60	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt x ) e. ZZ )
85	81, 82, 83, 84	expsubapd 11100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
86	80, 85	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
87	86	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( A / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
88	26	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
89		divdivdivap 9033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) /\ ( ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
90	65, 68, 67, 73, 89	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
91	87, 88, 90	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
92	64, 75, 91	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
93	92	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
94	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A e. QQ )
95	94, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A e. CC )
96		pcqcl 13063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) ) -> ( P pCnt A ) e. ZZ )
97	22, 94, 48, 96	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) e. ZZ )
98	81, 82, 97	expclzapd 11094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. CC )
99	81, 82, 97	expap0d 11095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) # 0 )
100	95, 98, 99	divcanap2d 9112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = A )
101	93, 100	eqtr2d 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A = ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) ) )
102		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z e. ZZ )
103		simprrr 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B = ( z / w ) )
104	103, 30	eqnetrrd 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z / w ) =/= 0 )
105		simprlr 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. NN )
106	105	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. CC )
107	105	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w # 0 )
108	106, 107	div0apd 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( 0 / w ) = 0 )
109		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = 0 -> ( z / w ) = ( 0 / w ) )
110	109	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = 0 -> ( ( z / w ) = 0 <-> ( 0 / w ) = 0 ) )
111	108, 110	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z = 0 -> ( z / w ) = 0 ) )
112	111	necon3d 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / w ) =/= 0 -> z =/= 0 ) )
113	104, 112	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z =/= 0 )
114		pczcl 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> ( P pCnt z ) e. NN0 )
115	22, 102, 113, 114	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt z ) e. NN0 )
116	24, 115	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. NN )
117	116	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC )
118	117, 106	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) = ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
119	118	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
120	102	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z e. CC )
121	116	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 )
122	117, 121	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) )
123	106, 107	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
124	22, 105	pccld 13057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt w ) e. NN0 )
125	24, 124	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. NN )
126	125	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC )
127	125	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 )
128	126, 127	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) )
129		divdivdivap 9033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. CC /\ ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) ) /\ ( ( w e. CC /\ w # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) )
130	120, 122, 123, 128, 129	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) )
131	103	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) = ( P pCnt ( z / w ) ) )
132		pcdiv 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) /\ w e. NN ) -> ( P pCnt ( z / w ) ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
133	22, 102, 113, 105, 132	syl121anc 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt ( z / w ) ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
134	131, 133	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
135	134	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) = ( P ^ ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) ) )
136	124	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt w ) e. ZZ )
137	115	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt z ) e. ZZ )
138	81, 82, 136, 137	expsubapd 11100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
139	135, 138	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
140	139	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) = ( B / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
141	103	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
142		divdivdivap 9033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. CC /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) /\ ( ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
143	120, 123, 122, 128, 142	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
144	140, 141, 143	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
145	119, 130, 144	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) )
146	145	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) ) )
147		qcn 10013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
148	29, 147	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B e. CC )
149	81, 82, 32	expclzapd 11094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) e. CC )
150	81, 82, 32	expap0d 11095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) # 0 )
151	148, 149, 150	divcanap2d 9112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) ) = B )
152	146, 151	eqtr2d 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B = ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) ) )
153		eluz 9914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P pCnt A ) e. ZZ /\ ( P pCnt B ) e. ZZ ) -> ( ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) <-> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) ) )
154	97, 32, 153	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) <-> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) ) )
155	43, 154	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) )
156		pczdvds 13071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x )
157	22, 25, 58, 156	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x )
158	61	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. ZZ )
159	61	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) =/= 0 )
160		dvdsval2 12535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x <-> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ ) )
161	158, 159, 25, 160	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x <-> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ ) )
162	157, 161	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ )
163		pczndvds2 13075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
164	22, 25, 58, 163	syl12anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
165	162, 164	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ /\ -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
166		pcdvds 13072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ y e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y )
167	22, 50, 166	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y )
168	70	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. ZZ )
169	70	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) =/= 0 )
170	50	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. ZZ )
171		dvdsval2 12535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y <-> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ ) )
172	168, 169, 170, 171	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y <-> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ ) )
173	167, 172	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ )
174	50	nnred 9296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. RR )
175	70	nnred 9296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. RR )
176	50	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < y )
177	70	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( P ^ ( P pCnt y ) ) )
178	174, 175, 176, 177	divgt0d 9255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
179		elnnz 9633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN <-> ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
180	173, 178, 179	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN )
181		pcndvds2 13076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ y e. NN ) -> -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
182	22, 50, 181	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
183	180, 182	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN /\ -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
184		pczdvds 13071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z )
185	22, 102, 113, 184	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z )
186	116	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. ZZ )
187	116	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) =/= 0 )
188		dvdsval2 12535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) =/= 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z <-> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ ) )
189	186, 187, 102, 188	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z <-> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ ) )
190	185, 189	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ )
191		pczndvds2 13075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
192	22, 102, 113, 191	syl12anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
193	190, 192	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ /\ -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
194		pcdvds 13072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ w e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w )
195	22, 105, 194	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w )
196	125	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. ZZ )
197	125	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) =/= 0 )
198	105	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. ZZ )
199		dvdsval2 12535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w <-> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ ) )
200	196, 197, 198, 199	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w <-> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ ) )
201	195, 200	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ )
202	105	nnred 9296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. RR )
203	125	nnred 9296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. RR )
204	105	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < w )
205	125	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( P ^ ( P pCnt w ) ) )
206	202, 203, 204, 205	divgt0d 9255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
207		elnnz 9633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN <-> ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
208	201, 206, 207	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN )
209		pcndvds2 13076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ w e. NN ) -> -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
210	22, 105, 209	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
211	208, 210	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN /\ -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
212	22, 101, 152, 155, 165, 183, 193, 211	pcaddlem 13096	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
213	212	expr 375	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
214	213	rexlimdvva 2676	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) -> ( E. y e. NN E. w e. NN ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
215	21, 214	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
216	215	rexlimdvva 2676	. . . 4 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> ( E. x e. ZZ E. z e. ZZ ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
217	20, 216	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
218		0z 9634	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
219		zq 10005	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
220	218, 219	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. QQ )
221		qdceq 10657	. . . . 5 |- ( ( B e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID B = 0 )
222	4, 220, 221	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> DECID B = 0 )
223		dcne 2431	. . . 4 |- (DECID B = 0 <-> ( B = 0 \/ B =/= 0 ) )
224	222, 223	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( B = 0 \/ B =/= 0 ) )
225	19, 217, 224	mpjaodan 810	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
226	3, 6, 225	mp2and 437	1 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   x. cmul 8174   +oocpnf 8347   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   QQcq 9998   ^cexp 10953   || cdvds 12532   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-pc 13042

This theorem is referenced by:  pcadd2  13098