Theorem pcadd 12248

Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcadd.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcadd.2	|- ( ph -> A e. QQ )
pcadd.3	|- ( ph -> B e. QQ )
pcadd.4	|- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )

Assertion

Ref	Expression
pcadd	|- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcadd

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcadd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		elq 9551	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
3	1, 2	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
4		pcadd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
5		elq 9551	. . 3 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
6	4, 5	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
7		pcadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
8		pcxcl 12220	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. QQ ) -> ( P pCnt A ) e. RR* )
9	7, 1, 8	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt A ) e. RR* )
10	9	xrleidd 9728	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt A ) )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt A ) )
12		oveq2 5844	. . . . . . 7 |- ( B = 0 -> ( A + B ) = ( A + 0 ) )
13		qcn 9563	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
14	1, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
15	14	addid1d 8038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
16	12, 15	sylan9eqr 2219	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( A + B ) = A )
17	16	oveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt A ) )
18	11, 17	breqtrrd 4004	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
19	18	a1d 22	. . 3 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
20		reeanv 2633	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. z e. ZZ ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) )
21		reeanv 2633	. . . . . 6 |- ( E. y e. NN E. w e. NN ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) <-> ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) )
22	7	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. Prime )
23		prmnn 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. NN )
25		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x e. ZZ )
26		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A = ( x / y ) )
27		pc0 12213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
28	22, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
29	4	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B e. QQ )
30		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B =/= 0 )
31		pcqcl 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. Prime /\ ( B e. QQ /\ B =/= 0 ) ) -> ( P pCnt B ) e. ZZ )
32	22, 29, 30, 31	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. ZZ )
33	32	zred 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. RR )
34	33	ltpnfd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) < +oo )
35		pnfxr 7942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- +oo e. RR*
36	33	rexrd 7939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. RR* )
37		xrlenlt 7954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( P pCnt B ) e. RR* ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) <-> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
38	35, 36, 37	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) <-> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
39	38	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) -> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
40	34, 39	mt2d 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. +oo <_ ( P pCnt B ) )
41	28, 40	eqnbrtrd 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) )
42		pcadd.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )
43	42	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )
44		oveq2 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A = 0 -> ( P pCnt A ) = ( P pCnt 0 ) )
45	44	breq1d 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = 0 -> ( ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) <-> ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) ) )
46	43, 45	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A = 0 -> ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) ) )
47	46	necon3bd 2377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( -. ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) -> A =/= 0 ) )
48	41, 47	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A =/= 0 )
49	26, 48	eqnetrrd 2360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x / y ) =/= 0 )
50		simprll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. NN )
51	50	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. CC )
52	50	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y # 0 )
53	51, 52	div0apd 8674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( 0 / y ) = 0 )
54		oveq1 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( x / y ) = ( 0 / y ) )
55	54	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( x / y ) = 0 <-> ( 0 / y ) = 0 ) )
56	53, 55	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x = 0 -> ( x / y ) = 0 ) )
57	56	necon3d 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / y ) =/= 0 -> x =/= 0 ) )
58	49, 57	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x =/= 0 )
59		pczcl 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( P pCnt x ) e. NN0 )
60	22, 25, 58, 59	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt x ) e. NN0 )
61	24, 60	nnexpcld 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. NN )
62	61	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC )
63	62, 51	mulcomd 7911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) = ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
64	63	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
65	25	zcnd 9305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x e. CC )
66	61	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 )
67	62, 66	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) )
68	51, 52	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
69	22, 50	pccld 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt y ) e. NN0 )
70	24, 69	nnexpcld 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. NN )
71	70	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC )
72	70	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 )
73	71, 72	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) )
74		divdivdivap 8600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) )
75	65, 67, 68, 73, 74	syl22anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) )
76	26	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) = ( P pCnt ( x / y ) ) )
77		pcdiv 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( P pCnt ( x / y ) ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
78	22, 25, 58, 50, 77	syl121anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt ( x / y ) ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
79	76, 78	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
80	79	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( P ^ ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) ) )
81	24	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. CC )
82	24	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P # 0 )
83	69	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt y ) e. ZZ )
84	60	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt x ) e. ZZ )
85	81, 82, 83, 84	expsubapd 10588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
86	80, 85	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
87	86	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( A / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
88	26	oveq1d 5851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
89		divdivdivap 8600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) /\ ( ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
90	65, 68, 67, 73, 89	syl22anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
91	87, 88, 90	3eqtrd 2201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
92	64, 75, 91	3eqtr4d 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
93	92	oveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
94	1	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A e. QQ )
95	94, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A e. CC )
96		pcqcl 12215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) ) -> ( P pCnt A ) e. ZZ )
97	22, 94, 48, 96	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) e. ZZ )
98	81, 82, 97	expclzapd 10582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. CC )
99	81, 82, 97	expap0d 10583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) # 0 )
100	95, 98, 99	divcanap2d 8679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = A )
101	93, 100	eqtr2d 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A = ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) ) )
102		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z e. ZZ )
103		simprrr 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B = ( z / w ) )
104	103, 30	eqnetrrd 2360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z / w ) =/= 0 )
105		simprlr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. NN )
106	105	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. CC )
107	105	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w # 0 )
108	106, 107	div0apd 8674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( 0 / w ) = 0 )
109		oveq1 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = 0 -> ( z / w ) = ( 0 / w ) )
110	109	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = 0 -> ( ( z / w ) = 0 <-> ( 0 / w ) = 0 ) )
111	108, 110	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z = 0 -> ( z / w ) = 0 ) )
112	111	necon3d 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / w ) =/= 0 -> z =/= 0 ) )
113	104, 112	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z =/= 0 )
114		pczcl 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> ( P pCnt z ) e. NN0 )
115	22, 102, 113, 114	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt z ) e. NN0 )
116	24, 115	nnexpcld 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. NN )
117	116	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC )
118	117, 106	mulcomd 7911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) = ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
119	118	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
120	102	zcnd 9305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z e. CC )
121	116	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 )
122	117, 121	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) )
123	106, 107	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
124	22, 105	pccld 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt w ) e. NN0 )
125	24, 124	nnexpcld 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. NN )
126	125	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC )
127	125	nnap0d 8894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 )
128	126, 127	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) )
129		divdivdivap 8600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. CC /\ ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) ) /\ ( ( w e. CC /\ w # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) )
130	120, 122, 123, 128, 129	syl22anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) )
131	103	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) = ( P pCnt ( z / w ) ) )
132		pcdiv 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) /\ w e. NN ) -> ( P pCnt ( z / w ) ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
133	22, 102, 113, 105, 132	syl121anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt ( z / w ) ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
134	131, 133	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
135	134	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) = ( P ^ ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) ) )
136	124	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt w ) e. ZZ )
137	115	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt z ) e. ZZ )
138	81, 82, 136, 137	expsubapd 10588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
139	135, 138	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
140	139	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) = ( B / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
141	103	oveq1d 5851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
142		divdivdivap 8600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. CC /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) /\ ( ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
143	120, 123, 122, 128, 142	syl22anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
144	140, 141, 143	3eqtrd 2201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
145	119, 130, 144	3eqtr4d 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) )
146	145	oveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) ) )
147		qcn 9563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
148	29, 147	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B e. CC )
149	81, 82, 32	expclzapd 10582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) e. CC )
150	81, 82, 32	expap0d 10583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) # 0 )
151	148, 149, 150	divcanap2d 8679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) ) = B )
152	146, 151	eqtr2d 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B = ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) ) )
153		eluz 9470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P pCnt A ) e. ZZ /\ ( P pCnt B ) e. ZZ ) -> ( ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) <-> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) ) )
154	97, 32, 153	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) <-> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) ) )
155	43, 154	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) )
156		pczdvds 12222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x )
157	22, 25, 58, 156	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x )
158	61	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. ZZ )
159	61	nnne0d 8893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) =/= 0 )
160		dvdsval2 11716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x <-> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ ) )
161	158, 159, 25, 160	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x <-> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ ) )
162	157, 161	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ )
163		pczndvds2 12226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
164	22, 25, 58, 163	syl12anc 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
165	162, 164	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ /\ -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
166		pcdvds 12223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ y e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y )
167	22, 50, 166	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y )
168	70	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. ZZ )
169	70	nnne0d 8893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) =/= 0 )
170	50	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. ZZ )
171		dvdsval2 11716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y <-> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ ) )
172	168, 169, 170, 171	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y <-> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ ) )
173	167, 172	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ )
174	50	nnred 8861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. RR )
175	70	nnred 8861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. RR )
176	50	nngt0d 8892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < y )
177	70	nngt0d 8892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( P ^ ( P pCnt y ) ) )
178	174, 175, 176, 177	divgt0d 8821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
179		elnnz 9192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN <-> ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
180	173, 178, 179	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN )
181		pcndvds2 12227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ y e. NN ) -> -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
182	22, 50, 181	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
183	180, 182	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN /\ -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
184		pczdvds 12222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z )
185	22, 102, 113, 184	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z )
186	116	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. ZZ )
187	116	nnne0d 8893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) =/= 0 )
188		dvdsval2 11716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) =/= 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z <-> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ ) )
189	186, 187, 102, 188	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z <-> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ ) )
190	185, 189	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ )
191		pczndvds2 12226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
192	22, 102, 113, 191	syl12anc 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
193	190, 192	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ /\ -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
194		pcdvds 12223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ w e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w )
195	22, 105, 194	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w )
196	125	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. ZZ )
197	125	nnne0d 8893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) =/= 0 )
198	105	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. ZZ )
199		dvdsval2 11716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w <-> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ ) )
200	196, 197, 198, 199	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w <-> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ ) )
201	195, 200	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ )
202	105	nnred 8861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. RR )
203	125	nnred 8861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. RR )
204	105	nngt0d 8892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < w )
205	125	nngt0d 8892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( P ^ ( P pCnt w ) ) )
206	202, 203, 204, 205	divgt0d 8821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
207		elnnz 9192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN <-> ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
208	201, 206, 207	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN )
209		pcndvds2 12227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ w e. NN ) -> -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
210	22, 105, 209	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
211	208, 210	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN /\ -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
212	22, 101, 152, 155, 165, 183, 193, 211	pcaddlem 12247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
213	212	expr 373	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
214	213	rexlimdvva 2589	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) -> ( E. y e. NN E. w e. NN ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
215	21, 214	syl5bir 152	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
216	215	rexlimdvva 2589	. . . 4 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> ( E. x e. ZZ E. z e. ZZ ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
217	20, 216	syl5bir 152	. . 3 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
218		0z 9193	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
219		zq 9555	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
220	218, 219	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. QQ )
221		qdceq 10172	. . . . 5 |- ( ( B e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID B = 0 )
222	4, 220, 221	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> DECID B = 0 )
223		dcne 2345	. . . 4 |- (DECID B = 0 <-> ( B = 0 \/ B =/= 0 ) )
224	222, 223	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> ( B = 0 \/ B =/= 0 ) )
225	19, 217, 224	mpjaodan 788	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
226	3, 6, 225	mp2and 430	1 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   E.wrex 2443   class class class wbr 3976   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   CCcc 7742   0cc0 7744   + caddc 7747   x. cmul 7749   +oocpnf 7921   RR*cxr 7923   < clt 7924   <_ cle 7925   - cmin 8060   # cap 8470   / cdiv 8559   NNcn 8848   NN0cn0 9105   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457   QQcq 9548   ^cexp 10444   || cdvds 11713   Primecprime 12018   pCnt cpc 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-en 6698  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-gcd 11861  df-prm 12019  df-pc 12194

This theorem is referenced by: (None)