Theorem pcadd 12993

Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcadd.1	|- ( ph -> P e. Prime )
pcadd.2	|- ( ph -> A e. QQ )
pcadd.3	|- ( ph -> B e. QQ )
pcadd.4	|- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )

Assertion

Ref	Expression
pcadd	|- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Proof of Theorem pcadd

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcadd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		elq 9917	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
4		pcadd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
5		elq 9917	. . 3 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
6	4, 5	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
7		pcadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
8		pcxcl 12964	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. QQ ) -> ( P pCnt A ) e. RR* )
9	7, 1, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P pCnt A ) e. RR* )
10	9	xrleidd 10097	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt A ) )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt A ) )
12		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( B = 0 -> ( A + B ) = ( A + 0 ) )
13		qcn 9929	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
14	1, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
15	14	addridd 8387	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
16	12, 15	sylan9eqr 2286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( A + B ) = A )
17	16	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt ( A + B ) ) = ( P pCnt A ) )
18	11, 17	breqtrrd 4121	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
19	18	a1d 22	. . 3 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
20		reeanv 2704	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. z e. ZZ ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) )
21		reeanv 2704	. . . . . 6 |- ( E. y e. NN E. w e. NN ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) <-> ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) )
22	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. Prime )
23		prmnn 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. NN )
25		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x e. ZZ )
26		simprrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A = ( x / y ) )
27		pc0 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
28	22, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt 0 ) = +oo )
29	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B e. QQ )
30		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B =/= 0 )
31		pcqcl 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. Prime /\ ( B e. QQ /\ B =/= 0 ) ) -> ( P pCnt B ) e. ZZ )
32	22, 29, 30, 31	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. ZZ )
33	32	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. RR )
34	33	ltpnfd 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) < +oo )
35		pnfxr 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- +oo e. RR*
36	33	rexrd 8288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. RR* )
37		xrlenlt 8303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( P pCnt B ) e. RR* ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) <-> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
38	35, 36, 37	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) <-> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
39	38	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( +oo <_ ( P pCnt B ) -> -. ( P pCnt B ) < +oo ) )
40	34, 39	mt2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. +oo <_ ( P pCnt B ) )
41	28, 40	eqnbrtrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) )
42		pcadd.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) )
44		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A = 0 -> ( P pCnt A ) = ( P pCnt 0 ) )
45	44	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = 0 -> ( ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) <-> ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) ) )
46	43, 45	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A = 0 -> ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) ) )
47	46	necon3bd 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( -. ( P pCnt 0 ) <_ ( P pCnt B ) -> A =/= 0 ) )
48	41, 47	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A =/= 0 )
49	26, 48	eqnetrrd 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x / y ) =/= 0 )
50		simprll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. NN )
51	50	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. CC )
52	50	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y # 0 )
53	51, 52	div0apd 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( 0 / y ) = 0 )
54		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( x / y ) = ( 0 / y ) )
55	54	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( x / y ) = 0 <-> ( 0 / y ) = 0 ) )
56	53, 55	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x = 0 -> ( x / y ) = 0 ) )
57	56	necon3d 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / y ) =/= 0 -> x =/= 0 ) )
58	49, 57	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x =/= 0 )
59		pczcl 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( P pCnt x ) e. NN0 )
60	22, 25, 58, 59	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt x ) e. NN0 )
61	24, 60	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. NN )
62	61	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC )
63	62, 51	mulcomd 8260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) = ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
64	63	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
65	25	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> x e. CC )
66	61	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 )
67	62, 66	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) )
68	51, 52	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
69	22, 50	pccld 12953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt y ) e. NN0 )
70	24, 69	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. NN )
71	70	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC )
72	70	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 )
73	71, 72	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) )
74		divdivdivap 8952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) )
75	65, 67, 68, 73, 74	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) x. y ) ) )
76	26	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) = ( P pCnt ( x / y ) ) )
77		pcdiv 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( P pCnt ( x / y ) ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
78	22, 25, 58, 50, 77	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt ( x / y ) ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
79	76, 78	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) = ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) )
80	79	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( P ^ ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) ) )
81	24	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P e. CC )
82	24	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> P # 0 )
83	69	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt y ) e. ZZ )
84	60	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt x ) e. ZZ )
85	81, 82, 83, 84	expsubapd 11009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( ( P pCnt x ) - ( P pCnt y ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
86	80, 85	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
87	86	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( A / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
88	26	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
89		divdivdivap 8952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) /\ ( ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
90	65, 68, 67, 73, 89	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / y ) / ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
91	87, 88, 90	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( ( x x. ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) / ( y x. ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
92	64, 75, 91	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
93	92	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
94	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A e. QQ )
95	94, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A e. CC )
96		pcqcl 12959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) ) -> ( P pCnt A ) e. ZZ )
97	22, 94, 48, 96	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) e. ZZ )
98	81, 82, 97	expclzapd 11003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. CC )
99	81, 82, 97	expap0d 11004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) # 0 )
100	95, 98, 99	divcanap2d 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = A )
101	93, 100	eqtr2d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> A = ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) / ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) ) )
102		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z e. ZZ )
103		simprrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B = ( z / w ) )
104	103, 30	eqnetrrd 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z / w ) =/= 0 )
105		simprlr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. NN )
106	105	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. CC )
107	105	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w # 0 )
108	106, 107	div0apd 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( 0 / w ) = 0 )
109		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = 0 -> ( z / w ) = ( 0 / w ) )
110	109	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = 0 -> ( ( z / w ) = 0 <-> ( 0 / w ) = 0 ) )
111	108, 110	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z = 0 -> ( z / w ) = 0 ) )
112	111	necon3d 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / w ) =/= 0 -> z =/= 0 ) )
113	104, 112	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z =/= 0 )
114		pczcl 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> ( P pCnt z ) e. NN0 )
115	22, 102, 113, 114	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt z ) e. NN0 )
116	24, 115	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. NN )
117	116	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC )
118	117, 106	mulcomd 8260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) = ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
119	118	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
120	102	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> z e. CC )
121	116	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 )
122	117, 121	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) )
123	106, 107	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
124	22, 105	pccld 12953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt w ) e. NN0 )
125	24, 124	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. NN )
126	125	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC )
127	125	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 )
128	126, 127	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) )
129		divdivdivap 8952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. CC /\ ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) ) /\ ( ( w e. CC /\ w # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) )
130	120, 122, 123, 128, 129	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) x. w ) ) )
131	103	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) = ( P pCnt ( z / w ) ) )
132		pcdiv 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) /\ w e. NN ) -> ( P pCnt ( z / w ) ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
133	22, 102, 113, 105, 132	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt ( z / w ) ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
134	131, 133	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) = ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) )
135	134	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) = ( P ^ ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) ) )
136	124	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt w ) e. ZZ )
137	115	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt z ) e. ZZ )
138	81, 82, 136, 137	expsubapd 11009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( ( P pCnt z ) - ( P pCnt w ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
139	135, 138	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
140	139	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) = ( B / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
141	103	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
142		divdivdivap 8952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. CC /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) /\ ( ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) # 0 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. CC /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) # 0 ) ) ) -> ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
143	120, 123, 122, 128, 142	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / w ) / ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
144	140, 141, 143	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) = ( ( z x. ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) / ( w x. ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
145	119, 130, 144	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) = ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) )
146	145	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) ) )
147		qcn 9929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
148	29, 147	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B e. CC )
149	81, 82, 32	expclzapd 11003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) e. CC )
150	81, 82, 32	expap0d 11004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt B ) ) # 0 )
151	148, 149, 150	divcanap2d 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( B / ( P ^ ( P pCnt B ) ) ) ) = B )
152	146, 151	eqtr2d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> B = ( ( P ^ ( P pCnt B ) ) x. ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) / ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) ) )
153		eluz 9830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P pCnt A ) e. ZZ /\ ( P pCnt B ) e. ZZ ) -> ( ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) <-> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) ) )
154	97, 32, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) <-> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt B ) ) )
155	43, 154	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt B ) e. ( ZZ>= ` ( P pCnt A ) ) )
156		pczdvds 12967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x )
157	22, 25, 58, 156	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x )
158	61	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. ZZ )
159	61	nnne0d 9247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt x ) ) =/= 0 )
160		dvdsval2 12431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt x ) ) =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x <-> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ ) )
161	158, 159, 25, 160	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt x ) ) || x <-> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ ) )
162	157, 161	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ )
163		pczndvds2 12971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
164	22, 25, 58, 163	syl12anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) )
165	162, 164	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) e. ZZ /\ -. P || ( x / ( P ^ ( P pCnt x ) ) ) ) )
166		pcdvds 12968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ y e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y )
167	22, 50, 166	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y )
168	70	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. ZZ )
169	70	nnne0d 9247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) =/= 0 )
170	50	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. ZZ )
171		dvdsval2 12431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt y ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y <-> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ ) )
172	168, 169, 170, 171	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt y ) ) || y <-> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ ) )
173	167, 172	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ )
174	50	nnred 9215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> y e. RR )
175	70	nnred 9215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt y ) ) e. RR )
176	50	nngt0d 9246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < y )
177	70	nngt0d 9246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( P ^ ( P pCnt y ) ) )
178	174, 175, 176, 177	divgt0d 9174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
179		elnnz 9550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN <-> ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
180	173, 178, 179	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN )
181		pcndvds2 12972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ y e. NN ) -> -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
182	22, 50, 181	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) )
183	180, 182	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) e. NN /\ -. P || ( y / ( P ^ ( P pCnt y ) ) ) ) )
184		pczdvds 12967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z )
185	22, 102, 113, 184	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z )
186	116	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. ZZ )
187	116	nnne0d 9247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt z ) ) =/= 0 )
188		dvdsval2 12431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt z ) ) =/= 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z <-> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ ) )
189	186, 187, 102, 188	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt z ) ) || z <-> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ ) )
190	185, 189	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ )
191		pczndvds2 12971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ z =/= 0 ) ) -> -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
192	22, 102, 113, 191	syl12anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) )
193	190, 192	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) e. ZZ /\ -. P || ( z / ( P ^ ( P pCnt z ) ) ) ) )
194		pcdvds 12968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ w e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w )
195	22, 105, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w )
196	125	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. ZZ )
197	125	nnne0d 9247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) =/= 0 )
198	105	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. ZZ )
199		dvdsval2 12431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. ZZ /\ ( P ^ ( P pCnt w ) ) =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w <-> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ ) )
200	196, 197, 198, 199	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( P ^ ( P pCnt w ) ) || w <-> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ ) )
201	195, 200	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ )
202	105	nnred 9215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> w e. RR )
203	125	nnred 9215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P ^ ( P pCnt w ) ) e. RR )
204	105	nngt0d 9246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < w )
205	125	nngt0d 9246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( P ^ ( P pCnt w ) ) )
206	202, 203, 204, 205	divgt0d 9174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> 0 < ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
207		elnnz 9550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN <-> ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
208	201, 206, 207	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN )
209		pcndvds2 12972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ w e. NN ) -> -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
210	22, 105, 209	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) )
211	208, 210	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) e. NN /\ -. P || ( w / ( P ^ ( P pCnt w ) ) ) ) )
212	22, 101, 152, 155, 165, 183, 193, 211	pcaddlem 12992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( ( y e. NN /\ w e. NN ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )
213	212	expr 375	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
214	213	rexlimdvva 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) -> ( E. y e. NN E. w e. NN ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
215	21, 214	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B =/= 0 ) /\ ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
216	215	rexlimdvva 2659	. . . 4 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> ( E. x e. ZZ E. z e. ZZ ( E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
217	20, 216	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
218		0z 9551	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
219		zq 9921	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
220	218, 219	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. QQ )
221		qdceq 10567	. . . . 5 |- ( ( B e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID B = 0 )
222	4, 220, 221	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> DECID B = 0 )
223		dcne 2414	. . . 4 |- (DECID B = 0 <-> ( B = 0 \/ B =/= 0 ) )
224	222, 223	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( B = 0 \/ B =/= 0 ) )
225	19, 217, 224	mpjaodan 806	. 2 |- ( ph -> ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) ) )
226	3, 6, 225	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( P pCnt A ) <_ ( P pCnt ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   + caddc 8095   x. cmul 8097   +oocpnf 8270   RR*cxr 8272   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   # cap 8820   / cdiv 8911   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   QQcq 9914   ^cexp 10863   || cdvds 12428   Primecprime 12759   pCnt cpc 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-prm 12760  df-pc 12938

This theorem is referenced by:  pcadd2  12994