Theorem eluz 9945

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9935	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 935	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377   ≤ cle 8362  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  uzneg  9951  uztric  9954  uzm1  9963  eluzdc  10020  fzn  10457  fzsplit2  10466  fzsplit3  10469  fznn  10507  uzsplit  10510  elfz2nn0  10530  fzouzsplit  10599  exfzdc  10670  zsupcllemstep  10673  zsupcl  10675  infssuzex  10677  infssfzcldc  10680  infssfzledc  10681  fzfig  10881  faclbnd  11194  seq3coll  11309  cvg1nlemcau  11765  cvg1nlemres  11766  summodclem2a  12166  fsum0diaglem  12225  mertenslemi1  12320  prodmodclem2a  12361  pcpremul  13094  pcdvdsb  13121  pcadd  13141  pcfac  13151  pcbc  13152  prmunb  13163  ballotfilem2  13279  ballotfilemimin  13300  gzsumfzval  13762  chtublem  16217  bcmax  16227  bpos1lem  16231  bposlem1  16233  uzdcinzz  16948