Theorem eluz 9759

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9749	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 928	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324   ≤ cle 8205  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  uzneg  9765  uztric  9768  uzm1  9777  eluzdc  9834  fzn  10267  fzsplit2  10275  fznn  10314  uzsplit  10317  elfz2nn0  10337  fzouzsplit  10406  exfzdc  10476  zsupcllemstep  10479  zsupcl  10481  infssuzex  10483  fzfig  10682  faclbnd  10993  seq3coll  11096  cvg1nlemcau  11535  cvg1nlemres  11536  summodclem2a  11932  fsum0diaglem  11991  mertenslemi1  12086  prodmodclem2a  12127  pcpremul  12856  pcdvdsb  12883  pcadd  12903  pcfac  12913  pcbc  12914  prmunb  12925  gsumfzval  13464  uzdcinzz  16330