Theorem sqnprm 12304

Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqnprm	|- ( A e. ZZ -> -. ( A ^ 2 ) e. Prime )

Proof of Theorem sqnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9330	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> A e. RR )
3		absresq 11243	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
5	2	recnd 8055	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> A e. CC )
6	5	abscld 11346	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( abs ` A ) e. RR )
7	6	recnd 8055	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( abs ` A ) e. CC )
8	7	sqvald 10762	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) )
9	4, 8	eqtr3d 2231	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( A ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( A ^ 2 ) e. Prime )
11	9, 10	eqeltrrd 2274	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. Prime )
12		nn0abscl 11250	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( abs ` A ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9446	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( abs ` A ) e. ZZ )
15		sq1 10725	. . . . . 6 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
16		prmuz2 12299	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. Prime -> ( A ^ 2 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( A ^ 2 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
18		eluz2b1 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 < ( A ^ 2 ) ) )
19	18	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A ^ 2 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( A ^ 2 ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> 1 < ( A ^ 2 ) )
21	20, 4	breqtrrd 4061	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> 1 < ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
22	15, 21	eqbrtrid 4068	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( 1 ^ 2 ) < ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
23	5	absge0d 11349	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
24		1re 8025	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		0le1 8508	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
26		lt2sq 10705	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) -> ( 1 < ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
27	24, 25, 26	mpanl12 436	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( 1 < ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
28	6, 23, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( 1 < ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
29	22, 28	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> 1 < ( abs ` A ) )
30		eluz2b1 9675	. . . 4 |- ( ( abs ` A ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( abs ` A ) e. ZZ /\ 1 < ( abs ` A ) ) )
31	14, 29, 30	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> ( abs ` A ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
32		nprm 12291	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( abs ` A ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. Prime )
33	31, 31, 32	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. Prime ) -> -. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. Prime )
34	11, 33	pm2.65da 662	1 |- ( A e. ZZ -> -. ( A ^ 2 ) e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ^cexp 10630   abscabs 11162   Primecprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-prm 12276

This theorem is referenced by: (None)