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Theorem difsqpwdvds 13036

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
difsqpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem difsqpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9506	. . . . . . 7
2		nn0cn 9506	. . . . . . 7
3	1, 2	anim12i 338	. . . . . 6 $/\$ $/\$
4	3	3adant3 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
5		subsq 11008	. . . . 5 $/\$
6	4, 5	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	adantr 276	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	eqeq2d 2244	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simprl 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		nn0z 9597	. . . . . . . . . . . 12
11		nn0z 9597	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13		zaddcl 9617	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		nn0re 9505	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18		1red 8289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
19		nn0re 9505	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8820	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	20, 22, 18	3jca 1204	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
24		difgtsumgt 9647	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	21, 25	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	26	3impia 1227	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		eluz2b1 9933	. . . . . . . . 9 $/\$
29	15, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simprr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	9, 30, 31	3jca 1204	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		zsubcl 9618	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	13, 34	jca 306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
37	36	3adant3 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38		dvdsmul1 12499	. . . . . . . 8 $/\$
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		breq2 4113	. . . . . . 7
42	41	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	40, 42	mpbird 167	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		dvdsprmpweqnn 13034	. . . . 5 $/\$ $/\$
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		prmz 12808	. . . . . . . . . . 11
47		iddvdsexp 12501	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	46, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
49		breq2 4113	. . . . . . . . . 10
50	48, 49	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 $/\$
51	50	rexlimdva 2660	. . . . . . . 8
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
53	52	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	55	3adant3 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
57	21	biimp3a 1382	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
58		eluz2b1 9933	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	9, 60, 31	3jca 1204	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		dvdsmul2 12500	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		breq2 4113	. . . . . . . . 9
67	66	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		dvdsprmpweqnn 13034	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		iddvdsexp 12501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	46, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73		breq2 4113	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	74	rexlimdva 2660	. . . . . . . . . 10
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	37, 79	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		3anass 1009	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	80, 81	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvds2sub 12512	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	1	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
86	2	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	85, 86, 86	pnncand 8623	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88	2	2timesd 9481	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91	87, 90	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92	91	breq2d 4121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	expcomd 1487	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	54, 99	syld 45	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	45, 100	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	8, 102	sylbid 150	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

wrex 2521 class class class wbr 4109

cfv 5352 (class class class)co 6050

cc 8125

cr 8126

c1 8128

caddc 8130

cmul 8132

clt 8308

cmin 8444

cn 9237

c2 9288

cn0 9496

cz 9577

cuz 9853

cexp 10900

cdvds 12473

cprime 12804

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-isom 5361 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-er 6767 df-en 6976 df-sup 7275 df-inf 7276 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-xnn0 9564 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-dvds 12474 df-gcd 12650 df-prm 12805 df-pc 12983

This theorem is referenced by: (None)

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