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Theorem difsqpwdvds 12278
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 9132 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
2 nn0cn 9132 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  CC )
31, 2anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
433adant3 1012 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
5 subsq 10569 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
76adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B ) ) )
87eqeq2d 2182 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( C ^ D
)  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B ) ) ) )
9 simprl 526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  C  e.  Prime )
10 nn0z 9219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
11 nn0z 9219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  ZZ )
1210, 11anim12i 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
13 zaddcl 9239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  ZZ )
15143adant3 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  +  B
)  e.  ZZ )
16 nn0re 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
18 1red 7922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
19 nn0re 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2019adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
2117, 18, 20ltaddsub2d 8452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( B  + 
1 )  <  A  <->  1  <  ( A  -  B ) ) )
22 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  NN0 )
2320, 22, 183jca 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  NN0  /\  1  e.  RR )
)
24 difgtsumgt 9268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN0  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  <  ( A  -  B )  ->  1  <  ( A  +  B
) ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  ( A  -  B )  ->  1  <  ( A  +  B ) ) )
2621, 25sylbid 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( B  + 
1 )  <  A  ->  1  <  ( A  +  B ) ) )
27263impia 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
1  <  ( A  +  B ) )
28 eluz2b1 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  1  < 
( A  +  B
) ) )
2915, 27, 28sylanbrc 415 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  +  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3029adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( A  +  B )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
31 simprr 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  D  e.  NN0 )
329, 30, 313jca 1172 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  +  B )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
3332adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  +  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
34 zsubcl 9240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
3513, 34jca 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
3612, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
37363adant3 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
38 dvdsmul1 11762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) )
3937, 38syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  +  B
)  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
4039ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  +  B )  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )
41 breq2 3991 . . . . . . 7  |-  ( ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) )  ->  (
( A  +  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  +  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
4241adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  (
( A  +  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  +  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
4340, 42mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  +  B )  ||  ( C ^ D
) )
44 dvdsprmpweqnn 12276 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  ( A  +  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ||  ( C ^ D )  ->  E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m ) ) )
4533, 43, 44sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( C ^ m ) )
46 prmz 12052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Prime  ->  C  e.  ZZ )
47 iddvdsexp 11764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ m ) )
4846, 47sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  m  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ m
) )
49 breq2 3991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +  B )  =  ( C ^
m )  ->  ( C  ||  ( A  +  B )  <->  C  ||  ( C ^ m ) ) )
5048, 49syl5ibrcom 156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( A  +  B ) ) )
5150rexlimdva 2587 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  Prime  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( C ^
m )  ->  C  ||  ( A  +  B
) ) )
5251adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( A  +  B ) ) )
5352adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( C ^
m )  ->  C  ||  ( A  +  B
) ) )
5453adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( A  +  B ) ) )
5512, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  -  B
)  e.  ZZ )
56553adant3 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  -  B
)  e.  ZZ )
5721biimp3a 1340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
1  <  ( A  -  B ) )
58 eluz2b1 9547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  -  B )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  1  < 
( A  -  B
) ) )
5956, 57, 58sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6059adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( A  -  B )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
619, 60, 313jca 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  -  B )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
6261adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  -  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
63 dvdsmul2 11763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) )
6437, 63syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
6564ad2antrr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )
66 breq2 3991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
6766adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
6865, 67mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( C ^ D
) )
69 dvdsprmpweqnn 12276 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  ( A  -  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( ( A  -  B )  ||  ( C ^ D )  ->  E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n ) ) )
7062, 68, 69sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( A  -  B )  =  ( C ^ n ) )
71 iddvdsexp 11764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  n  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ n ) )
7246, 71sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ n
) )
73 breq2 3991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  B )  =  ( C ^
n )  ->  ( C  ||  ( A  -  B )  <->  C  ||  ( C ^ n ) ) )
7472, 73syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  ->  C  ||  ( A  -  B ) ) )
7574rexlimdva 2587 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Prime  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B )  =  ( C ^
n )  ->  C  ||  ( A  -  B
) ) )
7675adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  ->  C  ||  ( A  -  B ) ) )
7776adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B )  =  ( C ^
n )  ->  C  ||  ( A  -  B
) ) )
7877adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  ->  C  ||  ( A  -  B ) ) )
7946adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )  ->  C  e.  ZZ )
8037, 79anim12ci 337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) ) )
81 3anass 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  <-> 
( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) ) )
8280, 81sylibr 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
83 dvds2sub 11775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( C 
||  ( A  +  B )  /\  C  ||  ( A  -  B
) )  ->  C  ||  ( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
) ) )
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C  ||  ( A  +  B )  /\  C  ||  ( A  -  B
) )  ->  C  ||  ( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
) ) )
8513ad2ant1 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  ->  A  e.  CC )
8623ad2ant2 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  ->  B  e.  CC )
8785, 86, 86pnncand 8256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
)  =  ( B  +  B ) )
8822timesd 9107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( 2  x.  B )  =  ( B  +  B
) )
8988eqcomd 2176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  B )  =  ( 2  x.  B
) )
90893ad2ant2 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( B  +  B
)  =  ( 2  x.  B ) )
9187, 90eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
9291breq2d 3999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( C  ||  (
( A  +  B
)  -  ( A  -  B ) )  <-> 
C  ||  ( 2  x.  B ) ) )
9392biimpd 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( C  ||  (
( A  +  B
)  -  ( A  -  B ) )  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
9493adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  ||  ( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
)  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
9584, 94syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C  ||  ( A  +  B )  /\  C  ||  ( A  -  B
) )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) ) )
9695expcomd 1434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  ||  ( A  -  B
)  ->  ( C  ||  ( A  +  B
)  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) ) )
9796adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  ||  ( A  -  B )  ->  ( C  ||  ( A  +  B )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) ) ) )
9878, 97syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  -> 
( C  ||  ( A  +  B )  ->  C  ||  ( 2  x.  B ) ) ) )
9970, 98mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  ||  ( A  +  B )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) ) )
10054, 99syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( 2  x.  B ) ) )
10145, 100mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) )
102101ex 114 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
)  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
1038, 102sylbid 149 1  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    < clt 7941    - cmin 8077   NNcn 8865   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ^cexp 10462    || cdvds 11736   Primecprime 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-xnn0 9186  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-pc 12226
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