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Theorem difsqpwdvds 12320

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
difsqpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem difsqpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9175	. . . . . . 7
2		nn0cn 9175	. . . . . . 7
3	1, 2	anim12i 338	. . . . . 6 $/\$ $/\$
4	3	3adant3 1017	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
5		subsq 10612	. . . . 5 $/\$
6	4, 5	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	adantr 276	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	eqeq2d 2189	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simprl 529	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		nn0z 9262	. . . . . . . . . . . 12
11		nn0z 9262	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13		zaddcl 9282	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18		1red 7963	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
19		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8493	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	20, 22, 18	3jca 1177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
24		difgtsumgt 9311	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	21, 25	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	26	3impia 1200	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		eluz2b1 9590	. . . . . . . . 9 $/\$
29	15, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	9, 30, 31	3jca 1177	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		zsubcl 9283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	13, 34	jca 306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
37	36	3adant3 1017	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38		dvdsmul1 11804	. . . . . . . 8 $/\$
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		breq2 4004	. . . . . . 7
42	41	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	40, 42	mpbird 167	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		dvdsprmpweqnn 12318	. . . . 5 $/\$ $/\$
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		prmz 12094	. . . . . . . . . . 11
47		iddvdsexp 11806	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	46, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
49		breq2 4004	. . . . . . . . . 10
50	48, 49	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 $/\$
51	50	rexlimdva 2594	. . . . . . . 8
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
53	52	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	55	3adant3 1017	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
57	21	biimp3a 1345	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
58		eluz2b1 9590	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	9, 60, 31	3jca 1177	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		dvdsmul2 11805	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		breq2 4004	. . . . . . . . 9
67	66	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		dvdsprmpweqnn 12318	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		iddvdsexp 11806	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	46, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73		breq2 4004	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	74	rexlimdva 2594	. . . . . . . . . 10
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	37, 79	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		3anass 982	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	80, 81	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvds2sub 11817	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	1	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
86	2	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	85, 86, 86	pnncand 8297	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88	2	2timesd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91	87, 90	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92	91	breq2d 4012	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	expcomd 1441	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	54, 99	syld 45	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	45, 100	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	8, 102	sylbid 150	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wrex 2456 class class class wbr 4000

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cmin 8118

cn 8908

c2 8959

cn0 9165

cz 9242

cuz 9517

cexp 10505

cdvds 11778

cprime 12090

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-er 6529 df-en 6735 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-xnn0 9229 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-prm 12091 df-pc 12268

This theorem is referenced by: (None)

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