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Theorem difsqpwdvds 12337
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 9186 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
2 nn0cn 9186 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  CC )
31, 2anim12i 338 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
433adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
5 subsq 10627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
76adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B ) ) )
87eqeq2d 2189 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( C ^ D
)  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B ) ) ) )
9 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  C  e.  Prime )
10 nn0z 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
11 nn0z 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  ZZ )
1210, 11anim12i 338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
13 zaddcl 9293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  B
)  e.  ZZ )
15143adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  +  B
)  e.  ZZ )
16 nn0re 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
18 1red 7972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
19 nn0re 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
2117, 18, 20ltaddsub2d 8503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( B  + 
1 )  <  A  <->  1  <  ( A  -  B ) ) )
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  NN0 )
2320, 22, 183jca 1177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  NN0  /\  1  e.  RR )
)
24 difgtsumgt 9322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN0  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  <  ( A  -  B )  ->  1  <  ( A  +  B
) ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  ( A  -  B )  ->  1  <  ( A  +  B ) ) )
2621, 25sylbid 150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( B  + 
1 )  <  A  ->  1  <  ( A  +  B ) ) )
27263impia 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
1  <  ( A  +  B ) )
28 eluz2b1 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  1  < 
( A  +  B
) ) )
2915, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  +  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3029adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( A  +  B )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
31 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  D  e.  NN0 )
329, 30, 313jca 1177 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  +  B )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
3332adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  +  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
34 zsubcl 9294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
3513, 34jca 306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
3612, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
37363adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
38 dvdsmul1 11820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) )
3937, 38syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  +  B
)  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
4039ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  +  B )  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )
41 breq2 4008 . . . . . . 7  |-  ( ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) )  ->  (
( A  +  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  +  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
4241adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  (
( A  +  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  +  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
4340, 42mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  +  B )  ||  ( C ^ D
) )
44 dvdsprmpweqnn 12335 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  ( A  +  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ||  ( C ^ D )  ->  E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m ) ) )
4533, 43, 44sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( C ^ m ) )
46 prmz 12111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Prime  ->  C  e.  ZZ )
47 iddvdsexp 11822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ m ) )
4846, 47sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  m  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ m
) )
49 breq2 4008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +  B )  =  ( C ^
m )  ->  ( C  ||  ( A  +  B )  <->  C  ||  ( C ^ m ) ) )
5048, 49syl5ibrcom 157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( A  +  B ) ) )
5150rexlimdva 2594 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  Prime  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( C ^
m )  ->  C  ||  ( A  +  B
) ) )
5251adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( A  +  B ) ) )
5352adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( C ^
m )  ->  C  ||  ( A  +  B
) ) )
5453adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( A  +  B ) ) )
5512, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  -  B
)  e.  ZZ )
56553adant3 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  -  B
)  e.  ZZ )
5721biimp3a 1345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
1  <  ( A  -  B ) )
58 eluz2b1 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  -  B )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  1  < 
( A  -  B
) ) )
5956, 57, 58sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6059adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( A  -  B )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
619, 60, 313jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  -  B )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
6261adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  e.  Prime  /\  ( A  -  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 ) )
63 dvdsmul2 11821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) )
6437, 63syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
6564ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )
66 breq2 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
6766adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( C ^ D )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) ) )
6865, 67mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( C ^ D
) )
69 dvdsprmpweqnn 12335 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  ( A  -  B )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( ( A  -  B )  ||  ( C ^ D )  ->  E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n ) ) )
7062, 68, 69sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( A  -  B )  =  ( C ^ n ) )
71 iddvdsexp 11822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  n  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ n ) )
7246, 71sylan 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  C  ||  ( C ^ n
) )
73 breq2 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  B )  =  ( C ^
n )  ->  ( C  ||  ( A  -  B )  <->  C  ||  ( C ^ n ) ) )
7472, 73syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  ->  C  ||  ( A  -  B ) ) )
7574rexlimdva 2594 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Prime  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B )  =  ( C ^
n )  ->  C  ||  ( A  -  B
) ) )
7675adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  ->  C  ||  ( A  -  B ) ) )
7776adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B )  =  ( C ^
n )  ->  C  ||  ( A  -  B
) ) )
7877adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  ->  C  ||  ( A  -  B ) ) )
7946adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )  ->  C  e.  ZZ )
8037, 79anim12ci 339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) ) )
81 3anass 982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  <-> 
( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) ) )
8280, 81sylibr 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( A  +  B )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
83 dvds2sub 11833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( C 
||  ( A  +  B )  /\  C  ||  ( A  -  B
) )  ->  C  ||  ( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
) ) )
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C  ||  ( A  +  B )  /\  C  ||  ( A  -  B
) )  ->  C  ||  ( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
) ) )
8513ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  ->  A  e.  CC )
8623ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  ->  B  e.  CC )
8785, 86, 86pnncand 8307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
)  =  ( B  +  B ) )
8822timesd 9161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( 2  x.  B )  =  ( B  +  B
) )
8988eqcomd 2183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  B )  =  ( 2  x.  B
) )
90893ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( B  +  B
)  =  ( 2  x.  B ) )
9187, 90eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
9291breq2d 4016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( C  ||  (
( A  +  B
)  -  ( A  -  B ) )  <-> 
C  ||  ( 2  x.  B ) ) )
9392biimpd 144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <  A )  -> 
( C  ||  (
( A  +  B
)  -  ( A  -  B ) )  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
9493adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  ||  ( ( A  +  B )  -  ( A  -  B )
)  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
9584, 94syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C  ||  ( A  +  B )  /\  C  ||  ( A  -  B
) )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) ) )
9695expcomd 1441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( C  ||  ( A  -  B
)  ->  ( C  ||  ( A  +  B
)  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) ) )
9796adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  ||  ( A  -  B )  ->  ( C  ||  ( A  +  B )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) ) ) )
9878, 97syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( A  -  B
)  =  ( C ^ n )  -> 
( C  ||  ( A  +  B )  ->  C  ||  ( 2  x.  B ) ) ) )
9970, 98mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( C  ||  ( A  +  B )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) ) )
10054, 99syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  ( E. m  e.  NN  ( A  +  B
)  =  ( C ^ m )  ->  C  ||  ( 2  x.  B ) ) )
10145, 100mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN0 
/\  ( B  + 
1 )  <  A
)  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
) )  ->  C  ||  ( 2  x.  B
) )
102101ex 115 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B )
)  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
1038, 102sylbid 150 1  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0  /\  ( B  +  1
)  <  A )  /\  ( C  e.  Prime  /\  D  e.  NN0 )
)  ->  ( ( C ^ D )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  ->  C  ||  (
2  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   1c1 7812    + caddc 7814    x. cmul 7816    < clt 7992    - cmin 8128   NNcn 8919   2c2 8970   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ^cexp 10519    || cdvds 11794   Primecprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-xnn0 9240  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-pc 12285
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