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Theorem difsqpwdvds 12246

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
difsqpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem difsqpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9115	. . . . . . 7
2		nn0cn 9115	. . . . . . 7
3	1, 2	anim12i 336	. . . . . 6 $/\$ $/\$
4	3	3adant3 1006	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
5		subsq 10551	. . . . 5 $/\$
6	4, 5	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	adantr 274	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	eqeq2d 2176	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simprl 521	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . 12
11		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	anim12i 336	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13		zaddcl 9222	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14	3adant3 1006	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		nn0re 9114	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18		1red 7905	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
19		nn0re 9114	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8435	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	20, 22, 18	3jca 1166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
24		difgtsumgt 9251	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	21, 25	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	26	3impia 1189	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		eluz2b1 9530	. . . . . . . . 9 $/\$
29	15, 27, 28	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	29	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simprr 522	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	9, 30, 31	3jca 1166	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		zsubcl 9223	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	13, 34	jca 304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
37	36	3adant3 1006	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38		dvdsmul1 11739	. . . . . . . 8 $/\$
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40	39	ad2antrr 480	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		breq2 3980	. . . . . . 7
42	41	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	40, 42	mpbird 166	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		dvdsprmpweqnn 12244	. . . . 5 $/\$ $/\$
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		prmz 12022	. . . . . . . . . . 11
47		iddvdsexp 11741	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	46, 47	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
49		breq2 3980	. . . . . . . . . 10
50	48, 49	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 $/\$
51	50	rexlimdva 2581	. . . . . . . 8
52	51	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$
53	52	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 274	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	55	3adant3 1006	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
57	21	biimp3a 1334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
58		eluz2b1 9530	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	59	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	9, 60, 31	3jca 1166	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		dvdsmul2 11740	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
65	64	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		breq2 3980	. . . . . . . . 9
67	66	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 67	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		dvdsprmpweqnn 12244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		iddvdsexp 11741	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	46, 71	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73		breq2 3980	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	74	rexlimdva 2581	. . . . . . . . . 10
76	75	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
77	76	adantl 275	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	46	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	37, 79	anim12ci 337	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		3anass 971	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	80, 81	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvds2sub 11752	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	1	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
86	2	3ad2ant2 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	85, 86, 86	pnncand 8239	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88	2	2timesd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	eqcomd 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	3ad2ant2 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91	87, 90	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92	91	breq2d 3988	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	93	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	expcomd 1428	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	54, 99	syld 45	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	45, 100	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ex 114	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	8, 102	sylbid 149	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 967

wceq 1342

wcel 2135

wrex 2443 class class class wbr 3976

cfv 5182 (class class class)co 5836

cc 7742

cr 7743

c1 7745

caddc 7747

cmul 7749

clt 7924

cmin 8060

cn 8848

c2 8899

cn0 9105

cz 9182

cuz 9457

cexp 10444

cdvds 11713

cprime 12018

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862 ax-arch 7863 ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-isom 5191 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-recs 6264 df-frec 6350 df-1o 6375 df-2o 6376 df-er 6492 df-en 6698 df-sup 6940 df-inf 6941 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-2 8907 df-3 8908 df-4 8909 df-n0 9106 df-xnn0 9169 df-z 9183 df-uz 9458 df-q 9549 df-rp 9581 df-fz 9936 df-fzo 10068 df-fl 10195 df-mod 10248 df-seqfrec 10371 df-exp 10445 df-cj 10770 df-re 10771 df-im 10772 df-rsqrt 10926 df-abs 10927 df-dvds 11714 df-gcd 11861 df-prm 12019 df-pc 12194

This theorem is referenced by: (None)

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