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Theorem difsqpwdvds 12776

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
difsqpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem difsqpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9340	. . . . . . 7
2		nn0cn 9340	. . . . . . 7
3	1, 2	anim12i 338	. . . . . 6 $/\$ $/\$
4	3	3adant3 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
5		subsq 10828	. . . . 5 $/\$
6	4, 5	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	adantr 276	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	eqeq2d 2219	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simprl 529	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . 12
11		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13		zaddcl 9447	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14	3adant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18		1red 8122	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
19		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8654	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	20, 22, 18	3jca 1180	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
24		difgtsumgt 9477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	21, 25	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	26	3impia 1203	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		eluz2b1 9757	. . . . . . . . 9 $/\$
29	15, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	9, 30, 31	3jca 1180	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		zsubcl 9448	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	13, 34	jca 306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
37	36	3adant3 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38		dvdsmul1 12239	. . . . . . . 8 $/\$
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		breq2 4063	. . . . . . 7
42	41	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	40, 42	mpbird 167	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		dvdsprmpweqnn 12774	. . . . 5 $/\$ $/\$
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		prmz 12548	. . . . . . . . . . 11
47		iddvdsexp 12241	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	46, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
49		breq2 4063	. . . . . . . . . 10
50	48, 49	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 $/\$
51	50	rexlimdva 2625	. . . . . . . 8
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
53	52	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	55	3adant3 1020	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
57	21	biimp3a 1358	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
58		eluz2b1 9757	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	9, 60, 31	3jca 1180	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		dvdsmul2 12240	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		breq2 4063	. . . . . . . . 9
67	66	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		dvdsprmpweqnn 12774	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		iddvdsexp 12241	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	46, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73		breq2 4063	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	74	rexlimdva 2625	. . . . . . . . . 10
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	37, 79	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		3anass 985	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	80, 81	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvds2sub 12252	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	1	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
86	2	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	85, 86, 86	pnncand 8457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88	2	2timesd 9315	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	eqcomd 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91	87, 90	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92	91	breq2d 4071	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	expcomd 1462	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	54, 99	syld 45	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	45, 100	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	8, 102	sylbid 150	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

wrex 2487 class class class wbr 4059

cfv 5290 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cmin 8278

cn 9071

c2 9122

cn0 9330

cz 9407

cuz 9683

cexp 10720

cdvds 12213

cprime 12544

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-isom 5299 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-1o 6525 df-2o 6526 df-er 6643 df-en 6851 df-sup 7112 df-inf 7113 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-xnn0 9394 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-fz 10166 df-fzo 10300 df-fl 10450 df-mod 10505 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-dvds 12214 df-gcd 12390 df-prm 12545 df-pc 12723

This theorem is referenced by: (None)

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