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Theorem difsqpwdvds 12901

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
difsqpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem difsqpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9402	. . . . . . 7
2		nn0cn 9402	. . . . . . 7
3	1, 2	anim12i 338	. . . . . 6 $/\$ $/\$
4	3	3adant3 1041	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
5		subsq 10898	. . . . 5 $/\$
6	4, 5	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	adantr 276	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	eqeq2d 2241	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simprl 529	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . 12
11		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13		zaddcl 9509	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14	3adant3 1041	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18		1red 8184	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
19		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8716	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	20, 22, 18	3jca 1201	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
24		difgtsumgt 9539	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	21, 25	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	26	3impia 1224	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		eluz2b1 9825	. . . . . . . . 9 $/\$
29	15, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	9, 30, 31	3jca 1201	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		zsubcl 9510	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	13, 34	jca 306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
37	36	3adant3 1041	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38		dvdsmul1 12364	. . . . . . . 8 $/\$
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		breq2 4090	. . . . . . 7
42	41	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	40, 42	mpbird 167	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		dvdsprmpweqnn 12899	. . . . 5 $/\$ $/\$
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		prmz 12673	. . . . . . . . . . 11
47		iddvdsexp 12366	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	46, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
49		breq2 4090	. . . . . . . . . 10
50	48, 49	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 $/\$
51	50	rexlimdva 2648	. . . . . . . 8
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
53	52	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	55	3adant3 1041	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
57	21	biimp3a 1379	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
58		eluz2b1 9825	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	9, 60, 31	3jca 1201	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		dvdsmul2 12365	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		breq2 4090	. . . . . . . . 9
67	66	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		dvdsprmpweqnn 12899	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		iddvdsexp 12366	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	46, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73		breq2 4090	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	74	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . 10
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	37, 79	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		3anass 1006	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	80, 81	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvds2sub 12377	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	1	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
86	2	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	85, 86, 86	pnncand 8519	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88	2	2timesd 9377	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91	87, 90	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92	91	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	expcomd 1484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	54, 99	syld 45	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	45, 100	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	8, 102	sylbid 150	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wrex 2509 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cr 8021

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

clt 8204

cmin 8340

cn 9133

c2 9184

cn0 9392

cz 9469

cuz 9745

cexp 10790

cdvds 12338

cprime 12669

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-er 6697 df-en 6905 df-sup 7174 df-inf 7175 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-xnn0 9456 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-dvds 12339 df-gcd 12515 df-prm 12670 df-pc 12848

This theorem is referenced by: (None)

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