Theorem eqreznegel 9805

Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqreznegel	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2		recn 8128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3		negid 8389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4		0z 9453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5	3, 4	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
6	5	pm4.71i 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7		zrevaddcl 9493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
8	6, 7	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
9	2, 8	imbitrid 154	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
10	1, 9	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
11	10	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℤ)))
12	11	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴))
15	12, 14	jcad 307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
16		zre 9446	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
17	16	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
18	15, 17	impbid1 142	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
19		negeq 8335	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
20	19	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ -𝑤 ∈ 𝐴))
21	20	elrab 2959	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
22	20	elrab 2959	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
23	18, 21, 22	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
24	23	eqrdv 2227	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3197  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998  -cneg 8314  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by: (None)