Theorem eqreznegel 9765

Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqreznegel	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2		recn 8088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3		negid 8349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4		0z 9413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5	3, 4	eqeltrdi 2297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
6	5	pm4.71i 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7		zrevaddcl 9453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
8	6, 7	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
9	2, 8	imbitrid 154	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
10	1, 9	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
11	10	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℤ)))
12	11	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴))
15	12, 14	jcad 307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
16		zre 9406	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
17	16	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
18	15, 17	impbid1 142	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
19		negeq 8295	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
20	19	eleq1d 2275	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ -𝑤 ∈ 𝐴))
21	20	elrab 2933	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
22	20	elrab 2933	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
23	18, 21, 22	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
24	23	eqrdv 2204	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   ⊆ wss 3170  (class class class)co 5962  ℂcc 7953  ℝcr 7954  0cc0 7955   + caddc 7958  -cneg 8274  ℤcz 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403

This theorem is referenced by: (None)