Theorem eqreznegel 9644

Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqreznegel	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2		recn 7974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3		negid 8234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4		0z 9294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5	3, 4	eqeltrdi 2280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
6	5	pm4.71i 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7		zrevaddcl 9333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
8	6, 7	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
9	2, 8	imbitrid 154	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
10	1, 9	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
11	10	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ ℤ)))
12	11	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
13		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴))
15	12, 14	jcad 307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
16		zre 9287	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
17	16	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
18	15, 17	impbid1 142	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
19		negeq 8180	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
20	19	eleq1d 2258	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ -𝑤 ∈ 𝐴))
21	20	elrab 2908	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
22	20	elrab 2908	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
23	18, 21, 22	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
24	23	eqrdv 2187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {crab 2472   ⊆ wss 3144  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  ℝcr 7840  0cc0 7841   + caddc 7844  -cneg 8159  ℤcz 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284

This theorem is referenced by: (None)