ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqreznegel GIF version

Theorem eqreznegel 9198
Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3033 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2 recn 7572 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3 negid 7826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4 0z 8859 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
53, 4syl6eqel 2185 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
65pm4.71i 384 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7 zrevaddcl 8898 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
86, 7syl5bb 191 . . . . . . . . 9 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
92, 8syl5ib 153 . . . . . . . 8 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
101, 9syl6 33 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
1110com23 78 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → (-𝑤𝐴𝑤 ∈ ℤ)))
1211impd 252 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
13 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
1413a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴))
1512, 14jcad 302 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
16 zre 8852 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
1716anim1i 334 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
1815, 17impbid1 141 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
19 negeq 7772 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
2019eleq1d 2163 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
2120elrab 2785 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
2220elrab 2785 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴))
2318, 21, 223bitr4g 222 . 2 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴}))
2423eqrdv 2093 1 (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  {crab 2374  wss 3013  (class class class)co 5690  cc 7445  cr 7446  0cc0 7447   + caddc 7450  -cneg 7751  cz 8848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator