Theorem even2n 12560

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	|- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 12553	. 2 |- ( 2 || N -> N e. ZZ )
2		2z 9605	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
4		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
5	3, 4	zmulcld 9706	. . . . 5 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 2 x. n ) = N ) -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
7		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 2 x. n ) = N ) -> ( ( 2 x. n ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 2 x. n ) = N ) -> N e. ZZ )
10	9	rexlimiva 2655	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N -> N e. ZZ )
11		divides 12475	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = N ) )
12		zcn 9582	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
13		2cnd 9310	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> 2 e. CC )
14	12, 13	mulcomd 8295	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 2 ) = ( 2 x. n ) )
15	14	eqeq1d 2241	. . . . 5 |- ( n e. ZZ -> ( ( n x. 2 ) = N <-> ( 2 x. n ) = N ) )
16	15	rexbiia 2557	. . . 4 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
17	11, 16	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
18	2, 17	mpan 424	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
19	1, 10, 18	pm5.21nii 712	1 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   x. cmul 8132   2c2 9288   ZZcz 9577   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  evennn02n  12568  evennn2n  12569  m1expe  12585