Theorem even2n 12425

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	|- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 12418	. 2 |- ( 2 || N -> N e. ZZ )
2		2z 9497	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
4		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
5	3, 4	zmulcld 9598	. . . . 5 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 2 x. n ) = N ) -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
7		eleq1 2292	. . . . 5 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 2 x. n ) = N ) -> ( ( 2 x. n ) e. ZZ <-> N e. ZZ ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 2 x. n ) = N ) -> N e. ZZ )
10	9	rexlimiva 2643	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N -> N e. ZZ )
11		divides 12340	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = N ) )
12		zcn 9474	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
13		2cnd 9206	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> 2 e. CC )
14	12, 13	mulcomd 8191	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 2 ) = ( 2 x. n ) )
15	14	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( n e. ZZ -> ( ( n x. 2 ) = N <-> ( 2 x. n ) = N ) )
16	15	rexbiia 2545	. . . 4 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
17	11, 16	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
18	2, 17	mpan 424	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
19	1, 10, 18	pm5.21nii 709	1 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   x. cmul 8027   2c2 9184   ZZcz 9469   || cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  evennn02n  12433  evennn2n  12434  m1expe  12450