ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  even2n Unicode version

Theorem even2n 11152
Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
even2n  |-  ( 2 
||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem even2n
StepHypRef Expression
1 evenelz 11145 . 2  |-  ( 2 
||  N  ->  N  e.  ZZ )
2 2z 8778 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
4 id 19 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ZZ )
53, 4zmulcld 8874 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
65adantr 270 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
7 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  n )  =  N  ->  (
( 2  x.  n
)  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
87adantl 271 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  ->  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
96, 8mpbid 145 . . 3  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
109rexlimiva 2484 . 2  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
2  x.  n )  =  N  ->  N  e.  ZZ )
11 divides 11076 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  2 )  =  N ) )
12 zcn 8755 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
13 2cnd 8495 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
1412, 13mulcomd 7509 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  2 )  =  ( 2  x.  n ) )
1514eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  x.  2 )  =  N  <->  ( 2  x.  n )  =  N ) )
1615rexbiia 2393 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
n  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
1711, 16syl6bb 194 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
2  x.  n )  =  N ) )
182, 17mpan 415 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N ) )
191, 10, 18pm5.21nii 655 1  |-  ( 2 
||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652    x. cmul 7355   2c2 8473   ZZcz 8750    || cdvds 11074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751  df-dvds 11075
This theorem is referenced by:  evennn02n  11160  evennn2n  11161  m1expe  11177
  Copyright terms: Public domain W3C validator