ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  even2n Unicode version

Theorem even2n 11881
Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
even2n  |-  ( 2 
||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem even2n
StepHypRef Expression
1 evenelz 11874 . 2  |-  ( 2 
||  N  ->  N  e.  ZZ )
2 2z 9283 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
4 id 19 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ZZ )
53, 4zmulcld 9383 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
65adantr 276 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
7 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  n )  =  N  ->  (
( 2  x.  n
)  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
87adantl 277 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  ->  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  <->  N  e.  ZZ ) )
96, 8mpbid 147 . . 3  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  ->  N  e.  ZZ )
109rexlimiva 2589 . 2  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
2  x.  n )  =  N  ->  N  e.  ZZ )
11 divides 11798 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  2 )  =  N ) )
12 zcn 9260 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
13 2cnd 8994 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
1412, 13mulcomd 7981 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  2 )  =  ( 2  x.  n ) )
1514eqeq1d 2186 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  x.  2 )  =  N  <->  ( 2  x.  n )  =  N ) )
1615rexbiia 2492 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
n  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
1711, 16bitrdi 196 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
2  x.  n )  =  N ) )
182, 17mpan 424 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N ) )
191, 10, 18pm5.21nii 704 1  |-  ( 2 
||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877    x. cmul 7818   2c2 8972   ZZcz 9255    || cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  evennn02n  11889  evennn2n  11890  m1expe  11906
  Copyright terms: Public domain W3C validator