Theorem znfi 14120

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znhash.1	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znfi	|- ( N e. NN -> B e. Fin )

Proof of Theorem znfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9318	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		nnz 9326	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		fzofig 10493	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. 2 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
5		nnnn0 9237	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
6		zntos.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
7		znhash.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
9		eqid 2193	. . . . . . 7 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14116	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
11	5, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
12		nnne0 9000	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
13		ifnefalse 3568	. . . . . 6 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
14		f1oeq2 5481	. . . . . 6 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B )
17		f1oeng 6802	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) -> ( 0..^ N ) ~~ B )
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) ~~ B )
19	18	ensymd 6828	. 2 |- ( N e. NN -> B ~~ ( 0..^ N ) )
20		enfii 6921	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ B ~~ ( 0..^ N ) ) -> B e. Fin )
21	4, 19, 20	syl2anc 411	1 |- ( N e. NN -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |` cres 4657   -1-1-onto->wf1o 5245   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   ~~ cen 6783   Fincfn 6785   0cc0 7862   NNcn 8972   NN0cn0 9230   ZZcz 9307  ..^cfzo 10198   Basecbs 12608   ZRHomczrh 14076  ℤ/nℤczn 14078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-addf 7984  ax-mulf 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-tpos 6289  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-ec 6580  df-qs 6584  df-map 6695  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-n0 9231  df-z 9308  df-dec 9439  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-fl 10329  df-mod 10384  df-seqfrec 10509  df-cj 10976  df-dvds 11921  df-struct 12610  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-starv 12700  df-sca 12701  df-vsca 12702  df-ip 12703  df-ple 12705  df-0g 12859  df-iimas 12875  df-qus 12876  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-mhm 13021  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-sbg 13067  df-mulg 13180  df-subg 13229  df-nsg 13230  df-eqg 13231  df-ghm 13300  df-cmn 13345  df-abl 13346  df-mgp 13401  df-rng 13413  df-ur 13440  df-srg 13444  df-ring 13478  df-cring 13479  df-oppr 13548  df-dvdsr 13569  df-rhm 13632  df-subrg 13699  df-lmod 13769  df-lssm 13833  df-lsp 13867  df-sra 13915  df-rgmod 13916  df-lidl 13949  df-rsp 13950  df-2idl 13980  df-icnfld 14032  df-zring 14057  df-zrh 14079  df-zn 14081

This theorem is referenced by:  znhash  14121  znidom  14122  znidomb  14123