Theorem znfi 14604

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znhash.1	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znfi	|- ( N e. NN -> B e. Fin )

Proof of Theorem znfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9445	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		nnz 9453	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		fzofig 10641	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. 2 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
5		nnnn0 9364	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
6		zntos.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
7		znhash.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
9		eqid 2229	. . . . . . 7 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14600	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
11	5, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
12		nnne0 9126	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
13		ifnefalse 3613	. . . . . 6 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
14		f1oeq2 5557	. . . . . 6 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B )
17		f1oeng 6898	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) -> ( 0..^ N ) ~~ B )
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) ~~ B )
19	18	ensymd 6925	. 2 |- ( N e. NN -> B ~~ ( 0..^ N ) )
20		enfii 7024	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ B ~~ ( 0..^ N ) ) -> B e. Fin )
21	4, 19, 20	syl2anc 411	1 |- ( N e. NN -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ifcif 3602   class class class wbr 4082   |` cres 4718   -1-1-onto->wf1o 5313   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   ~~ cen 6875   Fincfn 6877   0cc0 7987   NNcn 9098   NN0cn0 9357   ZZcz 9434  ..^cfzo 10326   Basecbs 13018   ZRHomczrh 14560  ℤ/nℤczn 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-tpos 6381  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-map 6787  df-en 6878  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-cj 11339  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-starv 13111  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-unif 13119  df-0g 13277  df-topgen 13279  df-iimas 13321  df-qus 13322  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-mhm 13478  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-sbg 13524  df-mulg 13643  df-subg 13693  df-nsg 13694  df-eqg 13695  df-ghm 13764  df-cmn 13809  df-abl 13810  df-mgp 13870  df-rng 13882  df-ur 13909  df-srg 13913  df-ring 13947  df-cring 13948  df-oppr 14017  df-dvdsr 14038  df-rhm 14101  df-subrg 14168  df-lmod 14238  df-lssm 14302  df-lsp 14336  df-sra 14384  df-rgmod 14385  df-lidl 14418  df-rsp 14419  df-2idl 14449  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-fg 14498  df-metu 14499  df-cnfld 14506  df-zring 14540  df-zrh 14563  df-zn 14565

This theorem is referenced by:  znhash  14605  znidom  14606  znidomb  14607