Theorem znfi 14731

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znhash.1	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znfi	|- ( N e. NN -> B e. Fin )

Proof of Theorem znfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9533	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		nnz 9541	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		fzofig 10738	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. 2 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
5		nnnn0 9452	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
6		zntos.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
7		znhash.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
9		eqid 2231	. . . . . . 7 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14727	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
11	5, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
12		nnne0 9214	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
13		ifnefalse 3620	. . . . . 6 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
14		f1oeq2 5581	. . . . . 6 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B )
17		f1oeng 6973	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) -> ( 0..^ N ) ~~ B )
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) ~~ B )
19	18	ensymd 7000	. 2 |- ( N e. NN -> B ~~ ( 0..^ N ) )
20		enfii 7104	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ B ~~ ( 0..^ N ) ) -> B e. Fin )
21	4, 19, 20	syl2anc 411	1 |- ( N e. NN -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |` cres 4733   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ~~ cen 6950   Fincfn 6952   0cc0 8075   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522  ..^cfzo 10420   Basecbs 13143   ZRHomczrh 14687  ℤ/nℤczn 14689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-cj 11463  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-iimas 13446  df-qus 13447  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-mhm 13603  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-sbg 13649  df-mulg 13768  df-subg 13818  df-nsg 13819  df-eqg 13820  df-ghm 13889  df-cmn 13934  df-abl 13935  df-mgp 13996  df-rng 14008  df-ur 14035  df-srg 14039  df-ring 14073  df-cring 14074  df-oppr 14143  df-dvdsr 14164  df-rhm 14228  df-subrg 14295  df-lmod 14365  df-lssm 14429  df-lsp 14463  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545  df-rsp 14546  df-2idl 14576  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633  df-zring 14667  df-zrh 14690  df-zn 14692

This theorem is referenced by:  znhash  14732  znidom  14733  znidomb  14734