Theorem znhash 14935

Description: The ℤ/nℤ structure has n elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znhash.1	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znhash	|- ( N e. NN -> (♯ ` B ) = N )

Proof of Theorem znhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9609	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2		nnz 9617	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		fzofig 10822	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
5		nnnn0 9524	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
6		zntos.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
7		znhash.1	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` Y )
8		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
9		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14930	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
12		nnne0 9286	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
13		ifnefalse 3638	. . . . . . 7 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
14		f1oeq2 5609	. . . . . . 7 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B )
17		f1oeng 7010	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) -> ( 0..^ N ) ~~ B )
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) ~~ B )
19	18	ensymd 7037	. . 3 |- ( N e. NN -> B ~~ ( 0..^ N ) )
20	6, 7	znfi 14934	. . . 4 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
21		hashen 11176	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` B ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) <-> B ~~ ( 0..^ N ) ) )
22	20, 4, 21	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` B ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) <-> B ~~ ( 0..^ N ) ) )
23	19, 22	mpbird 167	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` B ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
24		hashfzo0 11217	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
25	5, 24	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
26	23, 25	eqtrd 2267	1 |- ( N e. NN -> (♯ ` B ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   ifcif 3625   class class class wbr 4115   |` cres 4757   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   ~~ cen 6987   Fincfn 6989   0cc0 8144   NNcn 9258   NN0cn0 9517   ZZcz 9598  ..^cfzo 10502  ♯chash 11167   Basecbs 13301   ZRHomczrh 14890  ℤ/nℤczn 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-addf 8266  ax-mulf 8267

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-tpos 6490  df-recs 6550  df-frec 6636  df-1o 6661  df-er 6781  df-ec 6783  df-qs 6787  df-map 6898  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-ihash 11168  df-cj 11556  df-abs 11714  df-dvds 12504  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-sets 13308  df-iress 13309  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-starv 13394  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-ip 13397  df-tset 13398  df-ple 13399  df-ds 13401  df-unif 13402  df-0g 13560  df-topgen 13562  df-iimas 13572  df-qus 13573  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-mhm 13719  df-grp 13763  df-minusg 13764  df-sbg 13765  df-mulg 13878  df-subg 13928  df-nsg 13929  df-eqg 13930  df-ghm 13999  df-cmn 14044  df-abl 14045  df-mgp 14165  df-rng 14177  df-ur 14208  df-srg 14212  df-ring 14246  df-cring 14247  df-oppr 14316  df-dvdsr 14338  df-rhm 14402  df-subrg 14470  df-lmod 14568  df-lssm 14632  df-lsp 14666  df-sra 14714  df-rgmod 14715  df-lidl 14748  df-rsp 14749  df-2idl 14779  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-fg 14828  df-metu 14829  df-cnfld 14836  df-zring 14870  df-zrh 14893  df-zn 14895

This theorem is referenced by:  znidom  14936  znidomb  14937