Theorem znhash 14290

Description: The ℤ/nℤ structure has n elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znhash.1	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znhash	|- ( N e. NN -> (♯ ` B ) = N )

Proof of Theorem znhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9356	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2		nnz 9364	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		fzofig 10543	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
5		nnnn0 9275	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
6		zntos.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
7		znhash.1	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` Y )
8		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
9		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14285	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
12		nnne0 9037	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
13		ifnefalse 3573	. . . . . . 7 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
14		f1oeq2 5496	. . . . . . 7 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B )
17		f1oeng 6825	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) -> ( 0..^ N ) ~~ B )
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) ~~ B )
19	18	ensymd 6851	. . 3 |- ( N e. NN -> B ~~ ( 0..^ N ) )
20	6, 7	znfi 14289	. . . 4 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
21		hashen 10895	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` B ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) <-> B ~~ ( 0..^ N ) ) )
22	20, 4, 21	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` B ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) <-> B ~~ ( 0..^ N ) ) )
23	19, 22	mpbird 167	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` B ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
24		hashfzo0 10934	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
25	5, 24	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
26	23, 25	eqtrd 2229	1 |- ( N e. NN -> (♯ ` B ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |` cres 4666   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ~~ cen 6806   Fincfn 6808   0cc0 7898   NNcn 9009   NN0cn0 9268   ZZcz 9345  ..^cfzo 10236  ♯chash 10886   Basecbs 12705   ZRHomczrh 14245  ℤ/nℤczn 14247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-abs 11183  df-dvds 11972  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-starv 12797  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-unif 12805  df-0g 12962  df-topgen 12964  df-iimas 13006  df-qus 13007  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-mhm 13163  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-sbg 13209  df-mulg 13328  df-subg 13378  df-nsg 13379  df-eqg 13380  df-ghm 13449  df-cmn 13494  df-abl 13495  df-mgp 13555  df-rng 13567  df-ur 13594  df-srg 13598  df-ring 13632  df-cring 13633  df-oppr 13702  df-dvdsr 13723  df-rhm 13786  df-subrg 13853  df-lmod 13923  df-lssm 13987  df-lsp 14021  df-sra 14069  df-rgmod 14070  df-lidl 14103  df-rsp 14104  df-2idl 14134  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-fg 14183  df-metu 14184  df-cnfld 14191  df-zring 14225  df-zrh 14248  df-zn 14250

This theorem is referenced by:  znidom  14291  znidomb  14292