4sqlem11 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlem11 12539

Description: Lemma for 4sq 12548. Use the pigeonhole principle to show that the sets

and

have a common element,

. Note that although the conclusion is stated in terms of

being nonempty, it is also inhabited by 4sqleminfi 12535 and fin0 6941. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sqlem11.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sqlem11.5
4sqlem11.6

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem11

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem 4sqlem11 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.2	. . . . . . 7
2		4sq.4	. . . . . . . 8
3		prmnn 12248	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7
5		4sqlem11.5	. . . . . . 7
6	1, 4, 5	4sqlemafi 12533	. . . . . 6
7		4sqlem11.6	. . . . . . 7
8	1, 4, 5, 7	4sqlemffi 12534	. . . . . 6
9	1, 4, 5, 7	4sqleminfi 12535	. . . . . 6
10		unfiin 6982	. . . . . 6 $/\$ $/\$
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . . . 5
12		hashcl 10852	. . . . 5 ♯
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ♯
14	13	nn0red 9294	. . 3 ♯
15		prmz 12249	. . . . 5
16	2, 15	syl 14	. . . 4
17	16	zred 9439	. . 3
18		0zd 9329	. . . . . . 7
19		peano2zm 9355	. . . . . . . 8
20	16, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	18, 20	fzfigd 10502	. . . . . 6
22		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . 13
23		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
25		zmodfz 10417	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	24, 4, 25	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27		eleq1a 2265	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	28	rexlimdva 2611	. . . . . . . . 9
30	29	abssdv 3253	. . . . . . . 8
31	5, 30	eqsstrid 3225	. . . . . . 7
32	20	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	addlidd 8169	. . . . . . . . . . . 12
34	33	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	31	sselda 3179	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37		fzrev3i 10154	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	35, 38	eqeltrrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39, 7	fmptd 5712	. . . . . . . 8
41	40	frnd 5413	. . . . . . 7
42	31, 41	unssd 3335	. . . . . 6
43		ssdomg 6832	. . . . . 6
44	21, 42, 43	sylc 62	. . . . 5
45		fihashdom 10874	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
46	11, 21, 45	syl2anc 411	. . . . 5 ♯ ♯
47	44, 46	mpbird 167	. . . 4 ♯ ♯
48		fz01en 10119	. . . . . . 7
49	16, 48	syl 14	. . . . . 6
50		1zzd 9344	. . . . . . . 8
51	50, 16	fzfigd 10502	. . . . . . 7
52		hashen 10855	. . . . . . 7 $/\$ ♯ ♯
53	21, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . 6 ♯ ♯
54	49, 53	mpbird 167	. . . . 5 ♯ ♯
55	4	nnnn0d 9293	. . . . . 6
56		hashfz1 10854	. . . . . 6 ♯
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ♯
58	54, 57	eqtrd 2226	. . . 4 ♯
59	47, 58	breqtrd 4055	. . 3 ♯
60	14, 17, 59	lensymd 8141	. 2 ♯
61	17	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
62	61	ltp1d 8949	. . . . 5 $/\$
63	1	nncnd 8996	. . . . . . . . 9
64		1cnd 8035	. . . . . . . . 9
65	63, 63, 64, 64	add4d 8188	. . . . . . . 8
66		4sq.3	. . . . . . . . . 10
67	66	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9
68		2cn 9053	. . . . . . . . . . 11
69		mulcl 7999	. . . . . . . . . . 11 $/\$
70	68, 63, 69	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
71	70, 64, 64	addassd 8042	. . . . . . . . 9
72	63	2timesd 9225	. . . . . . . . . 10
73	72	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9
74	67, 71, 73	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8
75	1	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	18, 75	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . . . 14
77	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
79	22	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
80	79, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
81		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82	81	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
83		zsqcl 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
85		moddvds 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
86	78, 80, 84, 85	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
87	79	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
88	82	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89		subsq 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
90	87, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91	90	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
93	79, 82	zaddcld 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
94	79, 82	zsubcld 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
95		euclemma 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
96	92, 93, 94, 95	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\/$
97	86, 91, 96	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
98		zdceq 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ DECID
99	79, 82, 98	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
100	93	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
101		2re 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
102	1	nnred 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
103		remulcl 8000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
104	101, 102, 103	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	92, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
107	106	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
108	79	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
109	82	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
110	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
111		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
112	111	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
113		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
114	113	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
115	108, 109, 110, 110, 112, 114	le2addd 8582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
116	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
117	116	2timesd 9225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
118	115, 117	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
119	104	ltp1d 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
120	119, 66	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
122	100, 105, 107, 118, 121	lelttrd 8144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
123		zltnle 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
124	93, 106, 123	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
125	122, 124	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
127	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
128	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
129		1red 8034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
130		nn0abscl 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
131	94, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
132	131	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
134	128	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
135	131	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
137	94	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
138	137	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
139	87, 88	subeq0ad 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
140	139	necon3bid 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
141	140	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
142		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
143		zapne 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ #
144	94, 142, 143	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ #
145	141, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ #
146	138, 145	absrpclapd 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	rpgt0d 9765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
148		elnnz 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
149	136, 147, 148	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	nnge1d 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151		0cnd 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
152	87, 88, 151	abs3difd 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
153	87	subid1d 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
154	153	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
155		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
156	155	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
157	108, 156	absidd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
158	154, 157	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
159		0cn 8011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
160		abssub 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
161	159, 88, 160	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
162	88	subid1d 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
163	162	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
164		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
165	164	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
166	109, 165	absidd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
167	161, 163, 166	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
168	158, 167	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
169	152, 168	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
170	169	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
171	129, 133, 134, 150, 170	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
172		elnnz1 9340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
173	128, 171, 172	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
174		dvdsle 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
175	127, 173, 174	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
176	126, 175	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
177	176	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
178	177	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
179	178	necon4addc 2434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
180	99, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
181		dvdsabsb 11953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
182	106, 94, 181	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
183		letr 8102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
184	107, 132, 100, 183	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
185	169, 184	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
186	125, 185	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
187	186	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
188		dvdsle 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
189	106, 149, 188	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
190	187, 189	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
192	191	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ DECID
193	192	necon4addc 2434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
194	99, 193	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
195	182, 194	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
196	180, 195	jaod 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
197	97, 196	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
198		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199	198	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200	197, 199	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
202	77, 201	dom2lem 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16
203		f1f1orn 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16
204	202, 203	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
205		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206	205	rnmpt 4910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
207	5, 206	eqtr4i 2217	. . . . . . . . . . . . . . . 16
208		f1oeq3 5490	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	207, 208	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
210	204, 209	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14
211		f1oeng 6811	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
212	76, 210, 211	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
213	212	ensymd 6837	. . . . . . . . . . . 12
214		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . . 15
215		pncan 8225	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
216	63, 214, 215	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14
217	216	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13
218	1	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . . . . . 16
219		peano2nn0 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16
220	218, 219	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
221	220	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . 14
222		fz01en 10119	. . . . . . . . . . . . . 14
223	221, 222	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
224	217, 223	eqbrtrrd 4053	. . . . . . . . . . . 12
225		entr 6838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
226	213, 224, 225	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
227	50, 221	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . 12
228		hashen 10855	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ♯ ♯
229	6, 227, 228	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ♯ ♯
230	226, 229	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
231		hashfz1 10854	. . . . . . . . . . 11 ♯
232	220, 231	syl 14	. . . . . . . . . 10 ♯
233	230, 232	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ♯
234	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14
235	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
236		fzssuz 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
237		uzssz 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
238		zsscn 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
239	237, 238	sstri 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
240	236, 239	sstri 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
241	31, 240	sstrdi 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
242	241	sselda 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
243	242	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
244	241	sselda 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
245	244	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
246	235, 243, 245	subcanad 8373	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
247	246	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
248	234, 247	dom2lem 6826	. . . . . . . . . . . . 13
249		f1eq1 5454	. . . . . . . . . . . . . 14
250	7, 249	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
251	248, 250	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12
252		f1f1orn 5511	. . . . . . . . . . . 12
253	251, 252	syl 14	. . . . . . . . . . 11
254	6, 253	fihasheqf1od 10860	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
255	254, 233	eqtr3d 2228	. . . . . . . . 9 ♯
256	233, 255	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 ♯ ♯
257	65, 74, 256	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 ♯ ♯
258	257	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
259	6	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
260	8	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
261		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
262		hashun 10876	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ♯ ♯ ♯
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯ ♯
264	258, 263	eqtr4d 2229	. . . . 5 $/\$ ♯
265	62, 264	breqtrd 4055	. . . 4 $/\$ ♯
266	265	ex 115	. . 3 ♯
267	266	necon3bd 2407	. 2 ♯
268	60, 267	mpd 13	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835

wceq 1364

wcel 2164

cab 2179

wne 2364

wrex 2473

cun 3151

cin 3152

wss 3153

c0 3446 class class class wbr 4029

cmpt 4090

crn 4660

wf1 5251

wf1o 5253

cfv 5254 (class class class)co 5918

cen 6792

cdom 6793

cfn 6794

cc 7870

cr 7871

cc0 7872

c1 7873

caddc 7875

cmul 7877

clt 8054

cle 8055

cmin 8190 # cap 8600

cn 8982

c2 9033

cn0 9240

cz 9317

cuz 9592

cfz 10074

cmo 10393

cexp 10609 ♯chash 10846

cabs 11141

cdvds 11930

cprime 12245

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246

This theorem is referenced by: 4sqlem12 12540

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