4sqlem11 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlem11 12595

Description: Lemma for 4sq 12604. Use the pigeonhole principle to show that the sets

and

have a common element,

. Note that although the conclusion is stated in terms of

being nonempty, it is also inhabited by 4sqleminfi 12591 and fin0 6955. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sqlem11.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sqlem11.5
4sqlem11.6

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem11

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem 4sqlem11 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.2	. . . . . . 7
2		4sq.4	. . . . . . . 8
3		prmnn 12303	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7
5		4sqlem11.5	. . . . . . 7
6	1, 4, 5	4sqlemafi 12589	. . . . . 6
7		4sqlem11.6	. . . . . . 7
8	1, 4, 5, 7	4sqlemffi 12590	. . . . . 6
9	1, 4, 5, 7	4sqleminfi 12591	. . . . . 6
10		unfiin 6996	. . . . . 6 $/\$ $/\$
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . . . 5
12		hashcl 10890	. . . . 5 ♯
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ♯
14	13	nn0red 9320	. . 3 ♯
15		prmz 12304	. . . . 5
16	2, 15	syl 14	. . . 4
17	16	zred 9465	. . 3
18		0zd 9355	. . . . . . 7
19		peano2zm 9381	. . . . . . . 8
20	16, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	18, 20	fzfigd 10540	. . . . . 6
22		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . 13
23		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
25		zmodfz 10455	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	24, 4, 25	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27		eleq1a 2268	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	28	rexlimdva 2614	. . . . . . . . 9
30	29	abssdv 3258	. . . . . . . 8
31	5, 30	eqsstrid 3230	. . . . . . 7
32	20	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	addlidd 8193	. . . . . . . . . . . 12
34	33	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	31	sselda 3184	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37		fzrev3i 10180	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	35, 38	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39, 7	fmptd 5719	. . . . . . . 8
41	40	frnd 5420	. . . . . . 7
42	31, 41	unssd 3340	. . . . . 6
43		ssdomg 6846	. . . . . 6
44	21, 42, 43	sylc 62	. . . . 5
45		fihashdom 10912	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
46	11, 21, 45	syl2anc 411	. . . . 5 ♯ ♯
47	44, 46	mpbird 167	. . . 4 ♯ ♯
48		fz01en 10145	. . . . . . 7
49	16, 48	syl 14	. . . . . 6
50		1zzd 9370	. . . . . . . 8
51	50, 16	fzfigd 10540	. . . . . . 7
52		hashen 10893	. . . . . . 7 $/\$ ♯ ♯
53	21, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . 6 ♯ ♯
54	49, 53	mpbird 167	. . . . 5 ♯ ♯
55	4	nnnn0d 9319	. . . . . 6
56		hashfz1 10892	. . . . . 6 ♯
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ♯
58	54, 57	eqtrd 2229	. . . 4 ♯
59	47, 58	breqtrd 4060	. . 3 ♯
60	14, 17, 59	lensymd 8165	. 2 ♯
61	17	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
62	61	ltp1d 8974	. . . . 5 $/\$
63	1	nncnd 9021	. . . . . . . . 9
64		1cnd 8059	. . . . . . . . 9
65	63, 63, 64, 64	add4d 8212	. . . . . . . 8
66		4sq.3	. . . . . . . . . 10
67	66	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9
68		2cn 9078	. . . . . . . . . . 11
69		mulcl 8023	. . . . . . . . . . 11 $/\$
70	68, 63, 69	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
71	70, 64, 64	addassd 8066	. . . . . . . . 9
72	63	2timesd 9251	. . . . . . . . . 10
73	72	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9
74	67, 71, 73	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8
75	1	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	18, 75	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . . . . 14
77	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
79	22	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
80	79, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
81		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82	81	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
83		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
85		moddvds 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
86	78, 80, 84, 85	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
87	79	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
88	82	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89		subsq 10755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
90	87, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91	90	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
93	79, 82	zaddcld 9469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
94	79, 82	zsubcld 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
95		euclemma 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
96	92, 93, 94, 95	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\/$
97	86, 91, 96	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
98		zdceq 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ DECID
99	79, 82, 98	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
100	93	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
101		2re 9077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
102	1	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
103		remulcl 8024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
104	101, 102, 103	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	92, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
107	106	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
108	79	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
109	82	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
110	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
111		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
112	111	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
113		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
114	113	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
115	108, 109, 110, 110, 112, 114	le2addd 8607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
116	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
117	116	2timesd 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
118	115, 117	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
119	104	ltp1d 8974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
120	119, 66	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
122	100, 105, 107, 118, 121	lelttrd 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
123		zltnle 9389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
124	93, 106, 123	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
125	122, 124	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
127	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
128	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
129		1red 8058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
130		nn0abscl 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
131	94, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
132	131	nn0red 9320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
134	128	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
135	131	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
137	94	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
138	137	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
139	87, 88	subeq0ad 8364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
140	139	necon3bid 2408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
141	140	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
142		0zd 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
143		zapne 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ #
144	94, 142, 143	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ #
145	141, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ #
146	138, 145	absrpclapd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	rpgt0d 9791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
148		elnnz 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
149	136, 147, 148	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	nnge1d 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151		0cnd 8036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
152	87, 88, 151	abs3difd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
153	87	subid1d 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
154	153	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
155		elfzle1 10119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
156	155	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
157	108, 156	absidd 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
158	154, 157	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
159		0cn 8035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
160		abssub 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
161	159, 88, 160	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
162	88	subid1d 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
163	162	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
164		elfzle1 10119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
165	164	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
166	109, 165	absidd 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
167	161, 163, 166	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
168	158, 167	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
169	152, 168	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
170	169	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
171	129, 133, 134, 150, 170	letrd 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
172		elnnz1 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
173	128, 171, 172	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
174		dvdsle 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
175	127, 173, 174	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
176	126, 175	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
177	176	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
178	177	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
179	178	necon4addc 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
180	99, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
181		dvdsabsb 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
182	106, 94, 181	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
183		letr 8126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
184	107, 132, 100, 183	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
185	169, 184	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
186	125, 185	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
187	186	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
188		dvdsle 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
189	106, 149, 188	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
190	187, 189	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
192	191	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ DECID
193	192	necon4addc 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
194	99, 193	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
195	182, 194	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
196	180, 195	jaod 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
197	97, 196	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
198		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199	198	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200	197, 199	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
202	77, 201	dom2lem 6840	. . . . . . . . . . . . . . . 16
203		f1f1orn 5518	. . . . . . . . . . . . . . . 16
204	202, 203	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
205		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206	205	rnmpt 4915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
207	5, 206	eqtr4i 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16
208		f1oeq3 5497	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	207, 208	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
210	204, 209	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14
211		f1oeng 6825	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
212	76, 210, 211	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
213	212	ensymd 6851	. . . . . . . . . . . 12
214		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15
215		pncan 8249	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
216	63, 214, 215	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14
217	216	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
218	1	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . . . . . 16
219		peano2nn0 9306	. . . . . . . . . . . . . . . 16
220	218, 219	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
221	220	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . . . . 14
222		fz01en 10145	. . . . . . . . . . . . . 14
223	221, 222	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
224	217, 223	eqbrtrrd 4058	. . . . . . . . . . . 12
225		entr 6852	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
226	213, 224, 225	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
227	50, 221	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . . 12
228		hashen 10893	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ♯ ♯
229	6, 227, 228	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ♯ ♯
230	226, 229	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
231		hashfz1 10892	. . . . . . . . . . 11 ♯
232	220, 231	syl 14	. . . . . . . . . 10 ♯
233	230, 232	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ♯
234	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14
235	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
236		fzssuz 10157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
237		uzssz 9638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
238		zsscn 9351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
239	237, 238	sstri 3193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
240	236, 239	sstri 3193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
241	31, 240	sstrdi 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
242	241	sselda 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
243	242	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
244	241	sselda 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
245	244	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
246	235, 243, 245	subcanad 8397	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
247	246	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
248	234, 247	dom2lem 6840	. . . . . . . . . . . . 13
249		f1eq1 5461	. . . . . . . . . . . . . 14
250	7, 249	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
251	248, 250	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12
252		f1f1orn 5518	. . . . . . . . . . . 12
253	251, 252	syl 14	. . . . . . . . . . 11
254	6, 253	fihasheqf1od 10898	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
255	254, 233	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 ♯
256	233, 255	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 ♯ ♯
257	65, 74, 256	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 ♯ ♯
258	257	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
259	6	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
260	8	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
261		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
262		hashun 10914	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ♯ ♯ ♯
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯ ♯
264	258, 263	eqtr4d 2232	. . . . 5 $/\$ ♯
265	62, 264	breqtrd 4060	. . . 4 $/\$ ♯
266	265	ex 115	. . 3 ♯
267	266	necon3bd 2410	. 2 ♯
268	60, 267	mpd 13	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835

wceq 1364

wcel 2167

cab 2182

wne 2367

wrex 2476

cun 3155

cin 3156

wss 3157

c0 3451 class class class wbr 4034

cmpt 4095

crn 4665

wf1 5256

wf1o 5258

cfv 5259 (class class class)co 5925

cen 6806

cdom 6807

cfn 6808

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

clt 8078

cle 8079

cmin 8214 # cap 8625

cn 9007

c2 9058

cn0 9266

cz 9343

cuz 9618

cfz 10100

cmo 10431

cexp 10647 ♯chash 10884

cabs 11179

cdvds 11969

cprime 12300

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-ihash 10885 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-prm 12301

This theorem is referenced by: 4sqlem12 12596

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