4sqlem11 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlem11 12570

Description: Lemma for 4sq 12579. Use the pigeonhole principle to show that the sets

and

have a common element,

. Note that although the conclusion is stated in terms of

being nonempty, it is also inhabited by 4sqleminfi 12566 and fin0 6946. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sqlem11.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sqlem11.5
4sqlem11.6

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem11

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem 4sqlem11 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.2	. . . . . . 7
2		4sq.4	. . . . . . . 8
3		prmnn 12278	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7
5		4sqlem11.5	. . . . . . 7
6	1, 4, 5	4sqlemafi 12564	. . . . . 6
7		4sqlem11.6	. . . . . . 7
8	1, 4, 5, 7	4sqlemffi 12565	. . . . . 6
9	1, 4, 5, 7	4sqleminfi 12566	. . . . . 6
10		unfiin 6987	. . . . . 6 $/\$ $/\$
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . . . 5
12		hashcl 10873	. . . . 5 ♯
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ♯
14	13	nn0red 9303	. . 3 ♯
15		prmz 12279	. . . . 5
16	2, 15	syl 14	. . . 4
17	16	zred 9448	. . 3
18		0zd 9338	. . . . . . 7
19		peano2zm 9364	. . . . . . . 8
20	16, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	18, 20	fzfigd 10523	. . . . . 6
22		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . 13
23		zsqcl 10702	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
25		zmodfz 10438	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	24, 4, 25	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27		eleq1a 2268	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	28	rexlimdva 2614	. . . . . . . . 9
30	29	abssdv 3257	. . . . . . . 8
31	5, 30	eqsstrid 3229	. . . . . . 7
32	20	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	addlidd 8176	. . . . . . . . . . . 12
34	33	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	31	sselda 3183	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37		fzrev3i 10163	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	35, 38	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39, 7	fmptd 5716	. . . . . . . 8
41	40	frnd 5417	. . . . . . 7
42	31, 41	unssd 3339	. . . . . 6
43		ssdomg 6837	. . . . . 6
44	21, 42, 43	sylc 62	. . . . 5
45		fihashdom 10895	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
46	11, 21, 45	syl2anc 411	. . . . 5 ♯ ♯
47	44, 46	mpbird 167	. . . 4 ♯ ♯
48		fz01en 10128	. . . . . . 7
49	16, 48	syl 14	. . . . . 6
50		1zzd 9353	. . . . . . . 8
51	50, 16	fzfigd 10523	. . . . . . 7
52		hashen 10876	. . . . . . 7 $/\$ ♯ ♯
53	21, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . 6 ♯ ♯
54	49, 53	mpbird 167	. . . . 5 ♯ ♯
55	4	nnnn0d 9302	. . . . . 6
56		hashfz1 10875	. . . . . 6 ♯
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ♯
58	54, 57	eqtrd 2229	. . . 4 ♯
59	47, 58	breqtrd 4059	. . 3 ♯
60	14, 17, 59	lensymd 8148	. 2 ♯
61	17	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
62	61	ltp1d 8957	. . . . 5 $/\$
63	1	nncnd 9004	. . . . . . . . 9
64		1cnd 8042	. . . . . . . . 9
65	63, 63, 64, 64	add4d 8195	. . . . . . . 8
66		4sq.3	. . . . . . . . . 10
67	66	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
68		2cn 9061	. . . . . . . . . . 11
69		mulcl 8006	. . . . . . . . . . 11 $/\$
70	68, 63, 69	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
71	70, 64, 64	addassd 8049	. . . . . . . . 9
72	63	2timesd 9234	. . . . . . . . . 10
73	72	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
74	67, 71, 73	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8
75	1	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	18, 75	fzfigd 10523	. . . . . . . . . . . . . 14
77	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
79	22	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
80	79, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
81		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82	81	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
83		zsqcl 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
85		moddvds 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
86	78, 80, 84, 85	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
87	79	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
88	82	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89		subsq 10738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
90	87, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91	90	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
93	79, 82	zaddcld 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
94	79, 82	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
95		euclemma 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
96	92, 93, 94, 95	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\/$
97	86, 91, 96	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
98		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ DECID
99	79, 82, 98	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
100	93	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
101		2re 9060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
102	1	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
103		remulcl 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
104	101, 102, 103	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	92, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
107	106	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
108	79	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
109	82	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
110	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
111		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
112	111	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
113		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
114	113	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
115	108, 109, 110, 110, 112, 114	le2addd 8590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
116	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
117	116	2timesd 9234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
118	115, 117	breqtrrd 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
119	104	ltp1d 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
120	119, 66	breqtrrd 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
122	100, 105, 107, 118, 121	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
123		zltnle 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
124	93, 106, 123	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
125	122, 124	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
127	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
128	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
129		1red 8041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
130		nn0abscl 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
131	94, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
132	131	nn0red 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
134	128	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
135	131	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
137	94	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
138	137	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
139	87, 88	subeq0ad 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
140	139	necon3bid 2408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
141	140	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
142		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
143		zapne 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ #
144	94, 142, 143	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ #
145	141, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ #
146	138, 145	absrpclapd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	rpgt0d 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
148		elnnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
149	136, 147, 148	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	nnge1d 9033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151		0cnd 8019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
152	87, 88, 151	abs3difd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
153	87	subid1d 8326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
154	153	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
155		elfzle1 10102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
156	155	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
157	108, 156	absidd 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
158	154, 157	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
159		0cn 8018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
160		abssub 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
161	159, 88, 160	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
162	88	subid1d 8326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
163	162	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
164		elfzle1 10102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
165	164	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
166	109, 165	absidd 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
167	161, 163, 166	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
168	158, 167	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
169	152, 168	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
170	169	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
171	129, 133, 134, 150, 170	letrd 8150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
172		elnnz1 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
173	128, 171, 172	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
174		dvdsle 12009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
175	127, 173, 174	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
176	126, 175	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
177	176	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
178	177	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
179	178	necon4addc 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
180	99, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
181		dvdsabsb 11975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
182	106, 94, 181	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
183		letr 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
184	107, 132, 100, 183	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
185	169, 184	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
186	125, 185	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
187	186	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
188		dvdsle 12009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
189	106, 149, 188	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
190	187, 189	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
192	191	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ DECID
193	192	necon4addc 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
194	99, 193	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
195	182, 194	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
196	180, 195	jaod 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
197	97, 196	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
198		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199	198	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200	197, 199	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
202	77, 201	dom2lem 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16
203		f1f1orn 5515	. . . . . . . . . . . . . . . 16
204	202, 203	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
205		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206	205	rnmpt 4914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
207	5, 206	eqtr4i 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16
208		f1oeq3 5494	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	207, 208	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
210	204, 209	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14
211		f1oeng 6816	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
212	76, 210, 211	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
213	212	ensymd 6842	. . . . . . . . . . . 12
214		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . . 15
215		pncan 8232	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
216	63, 214, 215	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14
217	216	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13
218	1	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16
219		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . . . . . 16
220	218, 219	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
221	220	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . 14
222		fz01en 10128	. . . . . . . . . . . . . 14
223	221, 222	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
224	217, 223	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . . . . . 12
225		entr 6843	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
226	213, 224, 225	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11
227	50, 221	fzfigd 10523	. . . . . . . . . . . 12
228		hashen 10876	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ♯ ♯
229	6, 227, 228	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ♯ ♯
230	226, 229	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
231		hashfz1 10875	. . . . . . . . . . 11 ♯
232	220, 231	syl 14	. . . . . . . . . 10 ♯
233	230, 232	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ♯
234	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14
235	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
236		fzssuz 10140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
237		uzssz 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
238		zsscn 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
239	237, 238	sstri 3192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
240	236, 239	sstri 3192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
241	31, 240	sstrdi 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
242	241	sselda 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
243	242	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
244	241	sselda 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
245	244	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
246	235, 243, 245	subcanad 8380	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
247	246	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
248	234, 247	dom2lem 6831	. . . . . . . . . . . . 13
249		f1eq1 5458	. . . . . . . . . . . . . 14
250	7, 249	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
251	248, 250	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12
252		f1f1orn 5515	. . . . . . . . . . . 12
253	251, 252	syl 14	. . . . . . . . . . 11
254	6, 253	fihasheqf1od 10881	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
255	254, 233	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 ♯
256	233, 255	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 ♯ ♯
257	65, 74, 256	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 ♯ ♯
258	257	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
259	6	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
260	8	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
261		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
262		hashun 10897	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ♯ ♯ ♯
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1249	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯ ♯
264	258, 263	eqtr4d 2232	. . . . 5 $/\$ ♯
265	62, 264	breqtrd 4059	. . . 4 $/\$ ♯
266	265	ex 115	. . 3 ♯
267	266	necon3bd 2410	. 2 ♯
268	60, 267	mpd 13	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835

wceq 1364

wcel 2167

cab 2182

wne 2367

wrex 2476

cun 3155

cin 3156

wss 3157

c0 3450 class class class wbr 4033

cmpt 4094

crn 4664

wf1 5255

wf1o 5257

cfv 5258 (class class class)co 5922

cen 6797

cdom 6798

cfn 6799

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

clt 8061

cle 8062

cmin 8197 # cap 8608

cn 8990

c2 9041

cn0 9249

cz 9326

cuz 9601

cfz 10083

cmo 10414

cexp 10630 ♯chash 10867

cabs 11162

cdvds 11952

cprime 12275

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276

This theorem is referenced by: 4sqlem12 12571

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