4sqlem11 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlem11 13158

Description: Lemma for 4sq 13167. Use the pigeonhole principle to show that the sets

and

have a common element,

. Note that although the conclusion is stated in terms of

being nonempty, it is also inhabited by 4sqleminfi 13154 and fin0 7179. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sqlem11.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sqlem11.5
4sqlem11.6

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem11

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem 4sqlem11 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.2	. . . . . . 7
2		4sq.4	. . . . . . . 8
3		prmnn 12866	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7
5		4sqlem11.5	. . . . . . 7
6	1, 4, 5	4sqlemafi 13152	. . . . . 6
7		4sqlem11.6	. . . . . . 7
8	1, 4, 5, 7	4sqlemffi 13153	. . . . . 6
9	1, 4, 5, 7	4sqleminfi 13154	. . . . . 6
10		unfiin 7223	. . . . . 6 $/\$ $/\$
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1278	. . . . 5
12		hashcl 11198	. . . . 5 ♯
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ♯
14	13	nn0red 9600	. . 3 ♯
15		prmz 12867	. . . . 5
16	2, 15	syl 14	. . . 4
17	16	zred 9747	. . 3
18		0zd 9635	. . . . . . 7
19		peano2zm 9661	. . . . . . . 8
20	16, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	18, 20	fzfigd 10846	. . . . . 6
22		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . 13
23		zsqcl 11025	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
25		zmodfz 10761	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	24, 4, 25	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27		eleq1a 2310	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	28	rexlimdva 2668	. . . . . . . . 9
30	29	abssdv 3322	. . . . . . . 8
31	5, 30	eqsstrid 3294	. . . . . . 7
32	20	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	addlidd 8466	. . . . . . . . . . . 12
34	33	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	31	sselda 3248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37		fzrev3i 10473	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	35, 38	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39, 7	fmptd 5853	. . . . . . . 8
41	40	frnd 5538	. . . . . . 7
42	31, 41	unssd 3405	. . . . . 6
43		ssdomg 7055	. . . . . 6
44	21, 42, 43	sylc 62	. . . . 5
45		fihashdom 11221	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
46	11, 21, 45	syl2anc 415	. . . . 5 ♯ ♯
47	44, 46	mpbird 167	. . . 4 ♯ ♯
48		fz01en 10437	. . . . . . 7
49	16, 48	syl 14	. . . . . 6
50		1zzd 9650	. . . . . . . 8
51	50, 16	fzfigd 10846	. . . . . . 7
52		hashen 11201	. . . . . . 7 $/\$ ♯ ♯
53	21, 51, 52	syl2anc 415	. . . . . 6 ♯ ♯
54	49, 53	mpbird 167	. . . . 5 ♯ ♯
55	4	nnnn0d 9599	. . . . . 6
56		hashfz1 11200	. . . . . 6 ♯
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ♯
58	54, 57	eqtrd 2271	. . . 4 ♯
59	47, 58	breqtrd 4151	. . 3 ♯
60	14, 17, 59	lensymd 8438	. 2 ♯
61	17	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
62	61	ltp1d 9250	. . . . 5 $/\$
63	1	nncnd 9297	. . . . . . . . 9
64		1cnd 8332	. . . . . . . . 9
65	63, 63, 64, 64	add4d 8485	. . . . . . . 8
66		4sq.3	. . . . . . . . . 10
67	66	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9
68		2cn 9354	. . . . . . . . . . 11
69		mulcl 8296	. . . . . . . . . . 11 $/\$
70	68, 63, 69	sylancr 418	. . . . . . . . . 10
71	70, 64, 64	addassd 8338	. . . . . . . . 9
72	63	2timesd 9527	. . . . . . . . . 10
73	72	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9
74	67, 71, 73	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8
75	1	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	18, 75	fzfigd 10846	. . . . . . . . . . . . . 14
77	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
79	22	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
80	79, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
81		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82	81	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
83		zsqcl 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
85		moddvds 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
86	78, 80, 84, 85	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
87	79	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
88	82	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89		subsq 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
90	87, 88, 89	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91	90	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
93	79, 82	zaddcld 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
94	79, 82	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
95		euclemma 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
96	92, 93, 94, 95	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\/$
97	86, 91, 96	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
98		zdceq 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ DECID
99	79, 82, 98	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
100	93	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
101		2re 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
102	1	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
103		remulcl 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
104	101, 102, 103	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	92, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
107	106	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
108	79	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
109	82	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
110	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
111		elfzle2 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
112	111	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
113		elfzle2 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
114	113	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
115	108, 109, 110, 110, 112, 114	le2addd 8881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
116	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
117	116	2timesd 9527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
118	115, 117	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
119	104	ltp1d 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
120	119, 66	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
122	100, 105, 107, 118, 121	lelttrd 8441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
123		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
124	93, 106, 123	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
125	122, 124	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
127	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
128	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
129		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
130		nn0abscl 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
131	94, 130	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
132	131	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
134	128	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
135	131	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
137	94	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
138	137	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
139	87, 88	subeq0ad 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
140	139	necon3bid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
141	140	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
142		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
143		zapne 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ #
144	94, 142, 143	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ #
145	141, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ #
146	138, 145	absrpclapd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	rpgt0d 10079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
148		elnnz 9633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
149	136, 147, 148	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	nnge1d 9326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151		0cnd 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
152	87, 88, 151	abs3difd 11944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
153	87	subid1d 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
154	153	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
155		elfzle1 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
156	155	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
157	108, 156	absidd 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
158	154, 157	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
159		0cn 8308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
160		abssub 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
161	159, 88, 160	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
162	88	subid1d 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
163	162	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
164		elfzle1 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
165	164	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
166	109, 165	absidd 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
167	161, 163, 166	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
168	158, 167	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
169	152, 168	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
170	169	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
171	129, 133, 134, 150, 170	letrd 8440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
172		elnnz1 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
173	128, 171, 172	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
174		dvdsle 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
175	127, 173, 174	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
176	126, 175	mtod 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
177	176	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
178	177	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
179	178	necon4addc 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ DECID
180	99, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
181		dvdsabsb 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
182	106, 94, 181	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
183		letr 8398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
184	107, 132, 100, 183	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
185	169, 184	mpan2d 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
186	125, 185	mtod 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
187	186	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
188		dvdsle 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
189	106, 149, 188	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
190	187, 189	mtod 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
192	191	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ DECID
193	192	necon4addc 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ DECID
194	99, 193	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
195	182, 194	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
196	180, 195	jaod 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
197	97, 196	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
198		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199	198	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200	197, 199	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
202	77, 201	dom2lem 7048	. . . . . . . . . . . . . . . 16
203		f1f1orn 5645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
204	202, 203	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
205		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206	205	rnmpt 5025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
207	5, 206	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16
208		f1oeq3 5624	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	207, 208	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
210	204, 209	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14
211		f1oeng 7033	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
212	76, 210, 211	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13
213	212	ensymd 7060	. . . . . . . . . . . 12
214		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . 15
215		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
216	63, 214, 215	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . 14
217	216	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13
218	1	nnnn0d 9599	. . . . . . . . . . . . . . . 16
219		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . . . . . . . 16
220	218, 219	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
221	220	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . 14
222		fz01en 10437	. . . . . . . . . . . . . 14
223	221, 222	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
224	217, 223	eqbrtrrd 4149	. . . . . . . . . . . 12
225		entr 7061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
226	213, 224, 225	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11
227	50, 221	fzfigd 10846	. . . . . . . . . . . 12
228		hashen 11201	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ♯ ♯
229	6, 227, 228	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ♯ ♯
230	226, 229	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
231		hashfz1 11200	. . . . . . . . . . 11 ♯
232	220, 231	syl 14	. . . . . . . . . 10 ♯
233	230, 232	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ♯
234	39	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14
235	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
236		fzssuz 10449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
237		uzssz 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
238		zsscn 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
239	237, 238	sstri 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
240	236, 239	sstri 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
241	31, 240	sstrdi 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
242	241	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
243	242	adantrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
244	241	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
245	244	adantrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
246	235, 243, 245	subcanad 8670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
247	246	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
248	234, 247	dom2lem 7048	. . . . . . . . . . . . 13
249		f1eq1 5588	. . . . . . . . . . . . . 14
250	7, 249	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
251	248, 250	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12
252		f1f1orn 5645	. . . . . . . . . . . 12
253	251, 252	syl 14	. . . . . . . . . . 11
254	6, 253	fihasheqf1od 11206	. . . . . . . . . 10 ♯ ♯
255	254, 233	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 ♯
256	233, 255	oveq12d 6093	. . . . . . . 8 ♯ ♯
257	65, 74, 256	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ♯ ♯
258	257	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯
259	6	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
260	8	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
261		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
262		hashun 11223	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ♯ ♯ ♯
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ ♯ ♯ ♯
264	258, 263	eqtr4d 2274	. . . . 5 $/\$ ♯
265	62, 264	breqtrd 4151	. . . 4 $/\$ ♯
266	265	ex 115	. . 3 ♯
267	266	necon3bd 2463	. 2 ♯
268	60, 267	mpd 13	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209

cab 2224

wne 2420

wrex 2529

cun 3218

cin 3219

wss 3220

c0 3520 class class class wbr 4125

cmpt 4187

crn 4770

wf1 5369

wf1o 5371

cfv 5372 (class class class)co 6075

cen 7010

cdom 7011

cfn 7012

cc 8167

cr 8168

cc0 8169

c1 8170

caddc 8172

cmul 8174

clt 8350

cle 8351

cmin 8487 # cap 8899

cn 9283

c2 9334

cn0 9542

cz 9623

cuz 9900

cfz 10390

cmo 10737

cexp 10953 ♯chash 11192

cabs 11741

cdvds 12532

cprime 12863

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-irdg 6631 df-frec 6652 df-1o 6677 df-2o 6678 df-oadd 6681 df-er 6797 df-en 7013 df-dom 7014 df-fin 7015 df-sup 7314 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-fz 10391 df-fzo 10528 df-fl 10683 df-mod 10738 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-ihash 11193 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-dvds 12533 df-gcd 12709 df-prm 12864

This theorem is referenced by: 4sqlem12 13159

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