ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashdifsn Unicode version

Theorem hashdifsn 10596
Description: The size of the difference of a finite set and a singleton subset is the set's size minus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashdifsn  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )

Proof of Theorem hashdifsn
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
2 snfig 6715 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  e.  Fin )
32adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  { B }  e.  Fin )
4 snssi 3671 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  C_  A )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  { B }  C_  A )
6 fihashssdif 10595 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin  /\ 
{ B }  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  -  ( `  { B } ) ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1217 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  { B } ) ) )
8 hashsng 10575 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( `  { B } )  =  1 )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  ( `  { B } )  =  1 )
109oveq2d 5797 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  ( ( `  A
)  -  ( `  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  -  1 ) )
117, 10eqtrd 2173 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  A )  ->  ( `  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( `  A )  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481    \ cdif 3072    C_ wss 3075   {csn 3531   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   Fincfn 6641   1c1 7644    - cmin 7956  ♯chash 10552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-ihash 10553
This theorem is referenced by:  hashdifpr  10597  zfz1isolemsplit  10612  zfz1isolemiso  10613  zfz1isolem1  10614  fsumdifsnconst  11255  hash2iun1dif1  11280
  Copyright terms: Public domain W3C validator