Theorem hashdifsn 10767

Description: The size of the difference of a finite set and a singleton subset is the set's size minus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifsn	|- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )

Proof of Theorem hashdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> A e. Fin )
2		snfig 6804	. . . 4 |- ( B e. A -> { B } e. Fin )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> { B } e. Fin )
4		snssi 3733	. . . 4 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> { B } C_ A )
6		fihashssdif 10766	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ { B } C_ A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` { B } ) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` { B } ) ) )
8		hashsng 10746	. . . 4 |- ( B e. A -> (♯ ` { B } ) = 1 )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` { B } ) = 1 )
10	9	oveq2d 5881	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
11	7, 10	eqtrd 2208	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   \ cdif 3124   C_ wss 3127   {csn 3589   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Fincfn 6730   1c1 7787   - cmin 8102  ♯chash 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-ihash 10724

This theorem is referenced by:  hashdifpr  10768  zfz1isolemsplit  10786  zfz1isolemiso  10787  zfz1isolem1  10788  fsumdifsnconst  11431  hash2iun1dif1  11456