Theorem hashdifsn 10826

Description: The size of the difference of a finite set and a singleton subset is the set's size minus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifsn	|- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )

Proof of Theorem hashdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> A e. Fin )
2		snfig 6835	. . . 4 |- ( B e. A -> { B } e. Fin )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> { B } e. Fin )
4		snssi 3751	. . . 4 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> { B } C_ A )
6		fihashssdif 10825	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ { B } C_ A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` { B } ) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` { B } ) ) )
8		hashsng 10805	. . . 4 |- ( B e. A -> (♯ ` { B } ) = 1 )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` { B } ) = 1 )
10	9	oveq2d 5908	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
11	7, 10	eqtrd 2222	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   \ cdif 3141   C_ wss 3144   {csn 3607   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Fincfn 6761   1c1 7837   - cmin 8153  ♯chash 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6762  df-dom 6763  df-fin 6764  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-inn 8945  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-fz 10034  df-ihash 10783

This theorem is referenced by:  hashdifpr  10827  zfz1isolemsplit  10845  zfz1isolemiso  10846  zfz1isolem1  10847  fsumdifsnconst  11490  hash2iun1dif1  11515