ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashssdif GIF version

Theorem fihashssdif 10576
Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashssdif ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem fihashssdif
StepHypRef Expression
1 undiffi 6813 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
21fveq2d 5425 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
3 simp2 982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4 diffifi 6788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 disjdif 3435 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
6 hashun 10563 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
75, 6mp3an3 1304 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
83, 4, 7syl2anc 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
92, 8eqtr2d 2173 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴))
10 hashcl 10539 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 9044 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
12113ad2ant1 1002 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 hashcl 10539 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
143, 13syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 9044 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16 hashcl 10539 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
174, 16syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 9044 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
1912, 15, 18subaddd 8103 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
209, 19mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2120eqcomd 2145 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  cdif 3068  cun 3069  cin 3070  wss 3071  c0 3363  cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  cc 7630   + caddc 7635  cmin 7945  0cn0 8989  chash 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-ihash 10534
This theorem is referenced by:  hashdifsn  10577
  Copyright terms: Public domain W3C validator