Theorem fihashssdif 11072

Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashssdif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem fihashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undiffi 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
2	1	fveq2d 5639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
3		simp2 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4		diffifi 7076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
5		disjdif 3565	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
6		hashun 11058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
7	5, 6	mp3an3 1360	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
9	2, 8	eqtr2d 2263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴))
10		hashcl 11033	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		hashcl 11033	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 9447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16		hashcl 11033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
17	4, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
19	12, 15, 18	subaddd 8498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
20	9, 19	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
21	20	eqcomd 2235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∖ cdif 3195   ∪ cun 3196   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  ℂcc 8020   + caddc 8025   − cmin 8340  ℕ₀cn0 9392  ♯chash 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-ihash 11028

This theorem is referenced by:  hashdifsn  11073