ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashssdif GIF version

Theorem fihashssdif 10811
Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashssdif ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem fihashssdif
StepHypRef Expression
1 undiffi 6937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
21fveq2d 5531 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
3 simp2 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4 diffifi 6907 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 disjdif 3507 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
6 hashun 10798 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
75, 6mp3an3 1336 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
83, 4, 7syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
92, 8eqtr2d 2221 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴))
10 hashcl 10774 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 9244 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
12113ad2ant1 1019 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 hashcl 10774 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
143, 13syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 9244 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16 hashcl 10774 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
174, 16syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 9244 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
1912, 15, 18subaddd 8299 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
209, 19mpbird 167 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2120eqcomd 2193 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  cdif 3138  cun 3139  cin 3140  wss 3141  c0 3434  cfv 5228  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  cc 7822   + caddc 7827  cmin 8141  0cn0 9189  chash 10768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-ihash 10769
This theorem is referenced by:  hashdifsn  10812
  Copyright terms: Public domain W3C validator