Theorem fihashssdif 10596

Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashssdif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem fihashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undiffi 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
2	1	fveq2d 5433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
3		simp2 983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4		diffifi 6796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
5		disjdif 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
6		hashun 10583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
7	5, 6	mp3an3 1305	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
8	3, 4, 7	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
9	2, 8	eqtr2d 2174	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴))
10		hashcl 10559	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		hashcl 10559	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 9056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16		hashcl 10559	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
17	4, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
19	12, 15, 18	subaddd 8115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
20	9, 19	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
21	20	eqcomd 2146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∖ cdif 3073   ∪ cun 3074   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  Fincfn 6642  ℂcc 7642   + caddc 7647   − cmin 7957  ℕ₀cn0 9001  ♯chash 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-ihash 10554

This theorem is referenced by:  hashdifsn  10597