Theorem fihashssdif 10985

Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashssdif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem fihashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undiffi 7037	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
2	1	fveq2d 5593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
3		simp2 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4		diffifi 7006	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
5		disjdif 3537	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
6		hashun 10972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
7	5, 6	mp3an3 1339	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
9	2, 8	eqtr2d 2240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴))
10		hashcl 10948	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		hashcl 10948	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 9370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16		hashcl 10948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
17	4, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
19	12, 15, 18	subaddd 8421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
20	9, 19	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
21	20	eqcomd 2212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∖ cdif 3167   ∪ cun 3168   ∩ cin 3169   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Fincfn 6840  ℂcc 7943   + caddc 7948   − cmin 8263  ℕ₀cn0 9315  ♯chash 10942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-ihash 10943

This theorem is referenced by:  hashdifsn  10986