Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashssdif GIF version

Theorem fihashssdif 10405
 Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashssdif ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem fihashssdif
StepHypRef Expression
1 undiffi 6742 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
21fveq2d 5357 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
3 simp2 950 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4 diffifi 6717 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 disjdif 3382 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
6 hashun 10392 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
75, 6mp3an3 1272 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
83, 4, 7syl2anc 406 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
92, 8eqtr2d 2133 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴))
10 hashcl 10368 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 8884 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
12113ad2ant1 970 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 hashcl 10368 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
143, 13syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 8884 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16 hashcl 10368 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
174, 16syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 8884 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
1912, 15, 18subaddd 7962 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
209, 19mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2120eqcomd 2105 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ∖ cdif 3018   ∪ cun 3019   ∩ cin 3020   ⊆ wss 3021  ∅c0 3310  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  Fincfn 6564  ℂcc 7498   + caddc 7503   − cmin 7804  ℕ0cn0 8829  ♯chash 10362 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-frec 6218  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-ihash 10363 This theorem is referenced by:  hashdifsn  10406
 Copyright terms: Public domain W3C validator