Theorem flqbi 10433

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi	|- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem flqbi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9746	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		flval 10415	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
3	2	eqeq1d 2214	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
6		qbtwnz 10394	. . . 4 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
7		breq1 4047	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x <_ A <-> B <_ A ) )
8		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
9	8	breq2d 4056	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( B + 1 ) ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )
11	10	riota2 5922	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
12	6, 11	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. QQ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
13	12	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
14	5, 13	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E!wreu 2486   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   iota_crio 5898  (class class class)co 5944   RRcr 7924   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   ZZcz 9372   QQcq 9740   |_cfl 10411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413

This theorem is referenced by:  flqbi2  10434  flqaddz  10440  bitsfzolem  12265  bitsfzo  12266  bitsmod  12267  bitscmp  12269  pcfaclem  12672  ex-fl  15665