Theorem flqbi 10706

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi	|- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem flqbi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 10007	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		flval 10688	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
3	2	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
6		qbtwnz 10667	. . . 4 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
7		breq1 4131	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x <_ A <-> B <_ A ) )
8		oveq1 6085	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
9	8	breq2d 4140	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( B + 1 ) ) )
10	7, 9	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )
11	10	riota2 6055	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
12	6, 11	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. QQ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
13	12	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
14	5, 13	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   class class class wbr 4128   ` cfv 5375   iota_crio 6030  (class class class)co 6078   RRcr 8171   1c1 8173   + caddc 8175   < clt 8353   <_ cle 8354   ZZcz 9626   QQcq 10001   |_cfl 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290  ax-arch 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-q 10002  df-rp 10037  df-fl 10686

This theorem is referenced by:  flqbi2  10707  flqaddz  10713  bitsfzolem  12702  bitsfzo  12703  bitsmod  12704  bitscmp  12706  pcfaclem  13109  ex-fl  16656