ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqbi Unicode version

Theorem flqbi 9693
Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqbi  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  B  <-> 
( B  <_  A  /\  A  <  ( B  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem flqbi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qre 9108 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
2 flval 9675 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
32eqeq1d 2096 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  =  B  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  B ) )
41, 3syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( |_ `  A
)  =  B  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  B ) )
54adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  B  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  B ) )
6 qbtwnz 9659 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
7 breq1 3848 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  A  <->  B  <_  A ) )
8 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  +  1 )  =  ( B  + 
1 ) )
98breq2d 3857 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( B  +  1 ) ) )
107, 9anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( B  <_  A  /\  A  <  ( B  +  1 ) ) ) )
1110riota2 5630 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  ( B  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  B ) )
126, 11sylan2 280 . . 3  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  QQ )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  ( B  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )  =  B ) )
1312ancoms 264 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  ( B  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )  =  B ) )
145, 13bitr4d 189 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  B  <-> 
( B  <_  A  /\  A  <  ( B  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   E!wreu 2361   class class class wbr 3845   ` cfv 5015   iota_crio 5607  (class class class)co 5652   RRcr 7347   1c1 7349    + caddc 7351    < clt 7520    <_ cle 7521   ZZcz 8748   QQcq 9102   |_cfl 9671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-q 9103  df-rp 9133  df-fl 9673
This theorem is referenced by:  flqbi2  9694  flqaddz  9700  ex-fl  11607
  Copyright terms: Public domain W3C validator