Theorem flqbi 10308

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi	|- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem flqbi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9643	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		flval 10290	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
3	2	eqeq1d 2198	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
6		qbtwnz 10270	. . . 4 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
7		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x <_ A <-> B <_ A ) )
8		oveq1 5898	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
9	8	breq2d 4030	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( B + 1 ) ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )
11	10	riota2 5869	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
12	6, 11	sylan2 286	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. QQ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
13	12	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
14	5, 13	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   E!wreu 2470   class class class wbr 4018   ` cfv 5231   iota_crio 5846  (class class class)co 5891   RRcr 7828   1c1 7830   + caddc 7832   < clt 8010   <_ cle 8011   ZZcz 9271   QQcq 9637   |_cfl 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-q 9638  df-rp 9672  df-fl 10288

This theorem is referenced by:  flqbi2  10309  flqaddz  10315  pcfaclem  12365  ex-fl  14874