Theorem flqbi 10678

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))

Proof of Theorem flqbi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flval 10660	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
3	2	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
6		qbtwnz 10639	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
7		breq1 4118	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
8		oveq1 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
9	8	breq2d 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))
11	10	riota2 6036	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
12	6, 11	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
13	12	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = 𝐵))
14	5, 13	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐵 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524   class class class wbr 4115  ‘cfv 5358  ℩crio 6011  (class class class)co 6059  ℝcr 8143  1c1 8145   + caddc 8147   < clt 8325   ≤ cle 8326  ℤcz 9598  ℚcq 9973  ⌊cfl 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-n0 9518  df-z 9599  df-q 9974  df-rp 10009  df-fl 10658

This theorem is referenced by:  flqbi2  10679  flqaddz  10685  bitsfzolem  12670  bitsfzo  12671  bitsmod  12672  bitscmp  12674  pcfaclem  13077  ex-fl  16624