ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qapne Unicode version

Theorem qapne 9281
Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
qapne  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem qapne
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9264 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
21biimpi 119 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
32adantl 273 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
4 simplll 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  A  e.  QQ )
5 elq 9264 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
64, 5sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
7 simplrl 505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  ZZ )
87zcnd 9026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  CC )
9 simprl 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
z  e.  ZZ )
109ad3antrrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  ZZ )
1110zcnd 9026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  CC )
12 simprr 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  NN )
1312ad3antrrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  NN )
1413nncnd 8592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  CC )
15 nnap0 8607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w #  0 )
1711, 14, 16divclapd 8411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  /  w )  e.  CC )
18 simplrr 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  NN )
1918nncnd 8592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  CC )
2017, 19mulcld 7658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  y )  e.  CC )
21 nnap0 8607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
2218, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y #  0 )
2319, 22recclapd 8402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  y )  e.  CC )
2419, 22recap0d 8403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  y ) #  0 )
25 apmul1 8409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( z  /  w )  x.  y
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
y )  e.  CC  /\  ( 1  /  y
) #  0 ) )  ->  ( x #  ( ( z  /  w
)  x.  y )  <-> 
( x  x.  (
1  /  y ) ) #  ( ( ( z  /  w )  x.  y )  x.  ( 1  /  y
) ) ) )
268, 20, 23, 24, 25syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( z  /  w )  x.  y )  <->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) #  ( ( ( z  /  w
)  x.  y )  x.  ( 1  / 
y ) ) ) )
278, 19, 22divrecapd 8414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
2827eqcomd 2105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( x  / 
y ) )
2917, 19, 23mulassd 7661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( z  /  w )  x.  y
)  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  ( y  x.  (
1  /  y ) ) ) )
3019, 22recidapd 8404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( 1  /  y ) )  =  1 )
3130oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  ( y  x.  ( 1  / 
y ) ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  1 ) )
3217mulid1d 7655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  1 )  =  ( z  /  w ) )
3329, 31, 323eqtrd 2136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( z  /  w )  x.  y
)  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( z  /  w ) )
3428, 33breq12d 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  (
1  /  y ) ) #  ( ( ( z  /  w )  x.  y )  x.  ( 1  /  y
) )  <->  ( x  /  y ) #  ( z  /  w ) ) )
3526, 34bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( z  /  w )  x.  y )  <->  ( x  /  y ) #  ( z  /  w ) ) )
3613nnzd 9024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  ZZ )
377, 36zmulcld 9031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  ZZ )
3837zcnd 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  CC )
3918nnzd 9024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  ZZ )
4039, 10zmulcld 9031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  z )  e.  ZZ )
4140zcnd 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  z )  e.  CC )
4214, 16recclapd 8402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
4314, 16recap0d 8403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  w ) #  0 )
44 apmul1 8409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  CC  /\  ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  ( ( 1  /  w )  e.  CC  /\  ( 1  /  w
) #  0 ) )  ->  ( ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z )  <-> 
( ( x  x.  w )  x.  (
1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) ) ) )
4538, 41, 42, 43, 44syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  ( (
x  x.  w )  x.  ( 1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
468, 14, 42mulassd 7661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( x  x.  ( w  x.  (
1  /  w ) ) ) )
4714, 16recidapd 8404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
w  x.  ( 1  /  w ) )  =  1 )
4847oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  ( w  x.  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  x.  1 ) )
498mulid1d 7655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
5046, 48, 493eqtrd 2136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  x )
5150breq1d 3885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( x  x.  w )  x.  (
1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) )  <->  x #  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
5245, 51bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  x #  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
5319, 11, 42mulassd 7661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( y  x.  ( z  x.  (
1  /  w ) ) ) )
5411, 14, 16divrecapd 8414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  /  w )  =  ( z  x.  ( 1  /  w
) ) )
5554oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( z  /  w ) )  =  ( y  x.  ( z  x.  (
1  /  w ) ) ) )
5619, 17mulcomd 7659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( z  /  w ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  y ) )
5753, 55, 563eqtr2d 2138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  y ) )
5857breq2d 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) )  <->  x #  (
( z  /  w
)  x.  y ) ) )
5952, 58bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  x #  (
( z  /  w
)  x.  y ) ) )
60 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  A  =  ( x  / 
y ) )
61 simpllr 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  B  =  ( z  /  w ) )
6260, 61breq12d 3888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  ( x  / 
y ) #  ( z  /  w ) ) )
6335, 59, 623bitr4d 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  A #  B
) )
64 zapne 8977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  z
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z )  <-> 
( x  x.  w
)  =/=  ( y  x.  z ) ) )
6537, 40, 64syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  ( x  x.  w )  =/=  (
y  x.  z ) ) )
6663, 65bitr3d 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  ( x  x.  w )  =/=  (
y  x.  z ) ) )
6763notbid 633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( -.  ( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  -.  A #  B ) )
68 apti 8250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  CC  /\  ( y  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x  x.  w )  =  ( y  x.  z
)  <->  -.  ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z ) ) )
6938, 41, 68syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( y  x.  z )  <->  -.  (
x  x.  w ) #  ( y  x.  z
) ) )
70 qcn 9276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
7170ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
7271ad3antrrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  A  e.  CC )
7361, 17eqeltrd 2176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  B  e.  CC )
74 apti 8250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B )
)
7572, 73, 74syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B ) )
7667, 69, 753bitr4d 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( y  x.  z )  <->  A  =  B ) )
7776necon3bid 2308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =/=  ( y  x.  z )  <->  A  =/=  B ) )
7866, 77bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) )
7978ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) ) )
8079rexlimdvva 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) ) )
816, 80mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) )
8281ex 114 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) ) )
8382rexlimdvva 2516 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) ) )
843, 83mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448    =/= wne 2267   E.wrex 2376   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   CCcc 7498   0cc0 7500   1c1 7501    x. cmul 7505   # cap 8209    / cdiv 8293   NNcn 8578   ZZcz 8906   QQcq 9261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-q 9262
This theorem is referenced by:  qltlen  9282  qlttri2  9283  qreccl  9284  qdivcl  9285  irrmul  9289  flqltnz  9901  modqmulnn  9956  qexpclz  10155  sqrt2irraplemnn  11649
  Copyright terms: Public domain W3C validator