Theorem qapne 9989

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem qapne

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9972	. . . 4 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( B e. QQ -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
4		simplll 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> A e. QQ )
5		elq 9972	. . . . . 6 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
7		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
8	7	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. CC )
9		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> z e. ZZ )
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. CC )
12		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> w e. NN )
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. NN )
14	13	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. CC )
15		nnap0 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. NN -> w # 0 )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w # 0 )
17	11, 14, 16	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) e. CC )
18		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. NN )
19	18	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. CC )
20	17, 19	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. y ) e. CC )
21		nnap0 9283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y # 0 )
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y # 0 )
23	19, 22	recclapd 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
24	19, 22	recap0d 9073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) # 0 )
25		apmul1 9079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( z / w ) x. y ) e. CC /\ ( ( 1 / y ) e. CC /\ ( 1 / y ) # 0 ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
27	8, 19, 22	divrecapd 9084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x / y ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
28	27	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( 1 / y ) ) = ( x / y ) )
29	17, 19, 23	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) )
30	19, 22	recidapd 9074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( 1 / y ) ) = 1 )
31	30	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) = ( ( z / w ) x. 1 ) )
32	17	mulridd 8307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. 1 ) = ( z / w ) )
33	29, 31, 32	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( z / w ) )
34	28, 33	breq12d 4127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
35	26, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
36	13	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. ZZ )
37	7, 36	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
38	37	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. CC )
39	18	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. ZZ )
40	39, 10	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. CC )
42	14, 16	recclapd 9072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) e. CC )
43	14, 16	recap0d 9073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) # 0 )
44		apmul1 9079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC /\ ( ( 1 / w ) e. CC /\ ( 1 / w ) # 0 ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
46	8, 14, 42	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) )
47	14, 16	recidapd 9074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( w x. ( 1 / w ) ) = 1 )
48	47	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) = ( x x. 1 ) )
49	8	mulridd 8307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
50	46, 48, 49	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = x )
51	50	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
53	19, 11, 42	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
54	11, 14, 16	divrecapd 9084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) = ( z x. ( 1 / w ) ) )
55	54	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
56	19, 17	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
58	57	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
59	52, 58	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A = ( x / y ) )
61		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B = ( z / w ) )
62	60, 61	breq12d 4127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
63	35, 59, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> A # B ) )
64		zapne 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. w ) e. ZZ /\ ( y x. z ) e. ZZ ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
65	37, 40, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
66	63, 65	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
67	63	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( -. ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> -. A # B ) )
68		apti 8913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
69	38, 41, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
70		qcn 9984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> A e. CC )
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A e. CC )
73	61, 17	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B e. CC )
74		apti 8913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
76	67, 69, 75	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> A = B ) )
77	76	necon3bid 2455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) =/= ( y x. z ) <-> A =/= B ) )
78	66, 77	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
79	78	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
80	79	rexlimdvva 2670	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
82	81	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
83	82	rexlimdvva 2670	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
84	3, 83	mpd 13	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   E.wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   QQcq 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970

This theorem is referenced by:  qltlen  9990  qlttri2  9991  qreccl  9992  qdivcl  9993  irrmul  9997  irrmulap  9998  flqltnz  10671  modqmulnn  10728  qexpclz  10946  sqrt2irraplemnn  12901  pceu  13018  pcdiv  13025  pcqdiv  13030  pcexp  13032  pcaddlem  13062  qexpz  13075  apdiff  16958  qdiff  16959