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Theorem qapne 9443
Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
qapne  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem qapne
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9426 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
21biimpi 119 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
32adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
4 simplll 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  A  e.  QQ )
5 elq 9426 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
64, 5sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
7 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  ZZ )
87zcnd 9186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  CC )
9 simprl 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
z  e.  ZZ )
109ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  ZZ )
1110zcnd 9186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  CC )
12 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  NN )
1312ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  NN )
1413nncnd 8746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  CC )
15 nnap0 8761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w #  0 )
1711, 14, 16divclapd 8562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  /  w )  e.  CC )
18 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  NN )
1918nncnd 8746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  CC )
2017, 19mulcld 7798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  y )  e.  CC )
21 nnap0 8761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
2218, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y #  0 )
2319, 22recclapd 8553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  y )  e.  CC )
2419, 22recap0d 8554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  y ) #  0 )
25 apmul1 8560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( z  /  w )  x.  y
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
y )  e.  CC  /\  ( 1  /  y
) #  0 ) )  ->  ( x #  ( ( z  /  w
)  x.  y )  <-> 
( x  x.  (
1  /  y ) ) #  ( ( ( z  /  w )  x.  y )  x.  ( 1  /  y
) ) ) )
268, 20, 23, 24, 25syl112anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( z  /  w )  x.  y )  <->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) #  ( ( ( z  /  w
)  x.  y )  x.  ( 1  / 
y ) ) ) )
278, 19, 22divrecapd 8565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
2827eqcomd 2145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( x  / 
y ) )
2917, 19, 23mulassd 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( z  /  w )  x.  y
)  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  ( y  x.  (
1  /  y ) ) ) )
3019, 22recidapd 8555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( 1  /  y ) )  =  1 )
3130oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  ( y  x.  ( 1  / 
y ) ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  1 ) )
3217mulid1d 7795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  1 )  =  ( z  /  w ) )
3329, 31, 323eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( z  /  w )  x.  y
)  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( z  /  w ) )
3428, 33breq12d 3942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  (
1  /  y ) ) #  ( ( ( z  /  w )  x.  y )  x.  ( 1  /  y
) )  <->  ( x  /  y ) #  ( z  /  w ) ) )
3526, 34bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( z  /  w )  x.  y )  <->  ( x  /  y ) #  ( z  /  w ) ) )
3613nnzd 9184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  ZZ )
377, 36zmulcld 9191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  ZZ )
3837zcnd 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  CC )
3918nnzd 9184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  ZZ )
4039, 10zmulcld 9191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  z )  e.  ZZ )
4140zcnd 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  z )  e.  CC )
4214, 16recclapd 8553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
4314, 16recap0d 8554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  w ) #  0 )
44 apmul1 8560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  CC  /\  ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  ( ( 1  /  w )  e.  CC  /\  ( 1  /  w
) #  0 ) )  ->  ( ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z )  <-> 
( ( x  x.  w )  x.  (
1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) ) ) )
4538, 41, 42, 43, 44syl112anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  ( (
x  x.  w )  x.  ( 1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
468, 14, 42mulassd 7801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( x  x.  ( w  x.  (
1  /  w ) ) ) )
4714, 16recidapd 8555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
w  x.  ( 1  /  w ) )  =  1 )
4847oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  ( w  x.  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  x.  1 ) )
498mulid1d 7795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
5046, 48, 493eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  x )
5150breq1d 3939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( x  x.  w )  x.  (
1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) )  <->  x #  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
5245, 51bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  x #  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
5319, 11, 42mulassd 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( y  x.  ( z  x.  (
1  /  w ) ) ) )
5411, 14, 16divrecapd 8565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  /  w )  =  ( z  x.  ( 1  /  w
) ) )
5554oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( z  /  w ) )  =  ( y  x.  ( z  x.  (
1  /  w ) ) ) )
5619, 17mulcomd 7799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( z  /  w ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  y ) )
5753, 55, 563eqtr2d 2178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  y ) )
5857breq2d 3941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) )  <->  x #  (
( z  /  w
)  x.  y ) ) )
5952, 58bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  x #  (
( z  /  w
)  x.  y ) ) )
60 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  A  =  ( x  / 
y ) )
61 simpllr 523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  B  =  ( z  /  w ) )
6260, 61breq12d 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  ( x  / 
y ) #  ( z  /  w ) ) )
6335, 59, 623bitr4d 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  A #  B
) )
64 zapne 9137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  z
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z )  <-> 
( x  x.  w
)  =/=  ( y  x.  z ) ) )
6537, 40, 64syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  ( x  x.  w )  =/=  (
y  x.  z ) ) )
6663, 65bitr3d 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  ( x  x.  w )  =/=  (
y  x.  z ) ) )
6763notbid 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( -.  ( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  -.  A #  B ) )
68 apti 8396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  CC  /\  ( y  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x  x.  w )  =  ( y  x.  z
)  <->  -.  ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z ) ) )
6938, 41, 68syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( y  x.  z )  <->  -.  (
x  x.  w ) #  ( y  x.  z
) ) )
70 qcn 9438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
7170ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
7271ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  A  e.  CC )
7361, 17eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  B  e.  CC )
74 apti 8396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B )
)
7572, 73, 74syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B ) )
7667, 69, 753bitr4d 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( y  x.  z )  <->  A  =  B ) )
7776necon3bid 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =/=  ( y  x.  z )  <->  A  =/=  B ) )
7866, 77bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) )
7978ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) ) )
8079rexlimdvva 2557 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) ) )
816, 80mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) )
8281ex 114 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) ) )
8382rexlimdvva 2557 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) ) )
843, 83mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    x. cmul 7637   # cap 8355    / cdiv 8444   NNcn 8732   ZZcz 9066   QQcq 9423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424
This theorem is referenced by:  qltlen  9444  qlttri2  9445  qreccl  9446  qdivcl  9447  irrmul  9451  flqltnz  10072  modqmulnn  10127  qexpclz  10326  sqrt2irraplemnn  11868  apdiff  13327
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