Theorem qapne 9715

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem qapne

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9698	. . . 4 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( B e. QQ -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
4		simplll 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> A e. QQ )
5		elq 9698	. . . . . 6 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
7		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
8	7	zcnd 9451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. CC )
9		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> z e. ZZ )
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zcnd 9451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. CC )
12		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> w e. NN )
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. NN )
14	13	nncnd 9006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. CC )
15		nnap0 9021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. NN -> w # 0 )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w # 0 )
17	11, 14, 16	divclapd 8819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) e. CC )
18		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. NN )
19	18	nncnd 9006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. CC )
20	17, 19	mulcld 8049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. y ) e. CC )
21		nnap0 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y # 0 )
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y # 0 )
23	19, 22	recclapd 8810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
24	19, 22	recap0d 8811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) # 0 )
25		apmul1 8817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( z / w ) x. y ) e. CC /\ ( ( 1 / y ) e. CC /\ ( 1 / y ) # 0 ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
27	8, 19, 22	divrecapd 8822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x / y ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
28	27	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( 1 / y ) ) = ( x / y ) )
29	17, 19, 23	mulassd 8052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) )
30	19, 22	recidapd 8812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( 1 / y ) ) = 1 )
31	30	oveq2d 5939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) = ( ( z / w ) x. 1 ) )
32	17	mulridd 8045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. 1 ) = ( z / w ) )
33	29, 31, 32	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( z / w ) )
34	28, 33	breq12d 4047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
35	26, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
36	13	nnzd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. ZZ )
37	7, 36	zmulcld 9456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
38	37	zcnd 9451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. CC )
39	18	nnzd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. ZZ )
40	39, 10	zmulcld 9456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. CC )
42	14, 16	recclapd 8810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) e. CC )
43	14, 16	recap0d 8811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) # 0 )
44		apmul1 8817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC /\ ( ( 1 / w ) e. CC /\ ( 1 / w ) # 0 ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
46	8, 14, 42	mulassd 8052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) )
47	14, 16	recidapd 8812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( w x. ( 1 / w ) ) = 1 )
48	47	oveq2d 5939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) = ( x x. 1 ) )
49	8	mulridd 8045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
50	46, 48, 49	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = x )
51	50	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
53	19, 11, 42	mulassd 8052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
54	11, 14, 16	divrecapd 8822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) = ( z x. ( 1 / w ) ) )
55	54	oveq2d 5939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
56	19, 17	mulcomd 8050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
58	57	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
59	52, 58	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A = ( x / y ) )
61		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B = ( z / w ) )
62	60, 61	breq12d 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
63	35, 59, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> A # B ) )
64		zapne 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. w ) e. ZZ /\ ( y x. z ) e. ZZ ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
65	37, 40, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
66	63, 65	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
67	63	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( -. ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> -. A # B ) )
68		apti 8651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
69	38, 41, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
70		qcn 9710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> A e. CC )
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A e. CC )
73	61, 17	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B e. CC )
74		apti 8651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
76	67, 69, 75	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> A = B ) )
77	76	necon3bid 2408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) =/= ( y x. z ) <-> A =/= B ) )
78	66, 77	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
79	78	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
80	79	rexlimdvva 2622	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
82	81	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
83	82	rexlimdvva 2622	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
84	3, 83	mpd 13	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   E.wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   CCcc 7879   0cc0 7881   1c1 7882   x. cmul 7886   # cap 8610   / cdiv 8701   NNcn 8992   ZZcz 9328   QQcq 9695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-q 9696

This theorem is referenced by:  qltlen  9716  qlttri2  9717  qreccl  9718  qdivcl  9719  irrmul  9723  irrmulap  9724  flqltnz  10379  modqmulnn  10436  qexpclz  10654  sqrt2irraplemnn  12357  pceu  12474  pcdiv  12481  pcqdiv  12486  pcexp  12488  pcaddlem  12518  qexpz  12531  apdiff  15702