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Theorem qapne 9639
Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
qapne  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem qapne
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9622 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
21biimpi 120 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
32adantl 277 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
4 simplll 533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  A  e.  QQ )
5 elq 9622 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
64, 5sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
7 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  ZZ )
87zcnd 9376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  x  e.  CC )
9 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
z  e.  ZZ )
109ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  ZZ )
1110zcnd 9376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  z  e.  CC )
12 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  NN )
1312ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  NN )
1413nncnd 8933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  CC )
15 nnap0 8948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w #  0 )
1711, 14, 16divclapd 8747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  /  w )  e.  CC )
18 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  NN )
1918nncnd 8933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  CC )
2017, 19mulcld 7978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  y )  e.  CC )
21 nnap0 8948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
2218, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y #  0 )
2319, 22recclapd 8738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  y )  e.  CC )
2419, 22recap0d 8739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  y ) #  0 )
25 apmul1 8745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( z  /  w )  x.  y
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
y )  e.  CC  /\  ( 1  /  y
) #  0 ) )  ->  ( x #  ( ( z  /  w
)  x.  y )  <-> 
( x  x.  (
1  /  y ) ) #  ( ( ( z  /  w )  x.  y )  x.  ( 1  /  y
) ) ) )
268, 20, 23, 24, 25syl112anc 1242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( z  /  w )  x.  y )  <->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) #  ( ( ( z  /  w
)  x.  y )  x.  ( 1  / 
y ) ) ) )
278, 19, 22divrecapd 8750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
2827eqcomd 2183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( x  / 
y ) )
2917, 19, 23mulassd 7981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( z  /  w )  x.  y
)  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  ( y  x.  (
1  /  y ) ) ) )
3019, 22recidapd 8740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( 1  /  y ) )  =  1 )
3130oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  ( y  x.  ( 1  / 
y ) ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  1 ) )
3217mulridd 7974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( z  /  w
)  x.  1 )  =  ( z  /  w ) )
3329, 31, 323eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( z  /  w )  x.  y
)  x.  ( 1  /  y ) )  =  ( z  /  w ) )
3428, 33breq12d 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  (
1  /  y ) ) #  ( ( ( z  /  w )  x.  y )  x.  ( 1  /  y
) )  <->  ( x  /  y ) #  ( z  /  w ) ) )
3526, 34bitrd 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( z  /  w )  x.  y )  <->  ( x  /  y ) #  ( z  /  w ) ) )
3613nnzd 9374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  w  e.  ZZ )
377, 36zmulcld 9381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  ZZ )
3837zcnd 9376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  w )  e.  CC )
3918nnzd 9374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  y  e.  ZZ )
4039, 10zmulcld 9381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  z )  e.  ZZ )
4140zcnd 9376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  z )  e.  CC )
4214, 16recclapd 8738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  w )  e.  CC )
4314, 16recap0d 8739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
1  /  w ) #  0 )
44 apmul1 8745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  CC  /\  ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  ( ( 1  /  w )  e.  CC  /\  ( 1  /  w
) #  0 ) )  ->  ( ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z )  <-> 
( ( x  x.  w )  x.  (
1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) ) ) )
4538, 41, 42, 43, 44syl112anc 1242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  ( (
x  x.  w )  x.  ( 1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
468, 14, 42mulassd 7981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( x  x.  ( w  x.  (
1  /  w ) ) ) )
4714, 16recidapd 8740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
w  x.  ( 1  /  w ) )  =  1 )
4847oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  ( w  x.  ( 1  /  w ) ) )  =  ( x  x.  1 ) )
498mulridd 7974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
5046, 48, 493eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  x )
5150breq1d 4014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( ( x  x.  w )  x.  (
1  /  w ) ) #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) )  <->  x #  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
5245, 51bitrd 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  x #  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) ) ) )
5319, 11, 42mulassd 7981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( y  x.  ( z  x.  (
1  /  w ) ) ) )
5411, 14, 16divrecapd 8750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
z  /  w )  =  ( z  x.  ( 1  /  w
) ) )
5554oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( z  /  w ) )  =  ( y  x.  ( z  x.  (
1  /  w ) ) ) )
5619, 17mulcomd 7979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
y  x.  ( z  /  w ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  y ) )
5753, 55, 563eqtr2d 2216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  ( 1  /  w ) )  =  ( ( z  /  w )  x.  y ) )
5857breq2d 4016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
x #  ( ( y  x.  z )  x.  ( 1  /  w
) )  <->  x #  (
( z  /  w
)  x.  y ) ) )
5952, 58bitrd 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  x #  (
( z  /  w
)  x.  y ) ) )
60 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  A  =  ( x  / 
y ) )
61 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  B  =  ( z  /  w ) )
6260, 61breq12d 4017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  ( x  / 
y ) #  ( z  /  w ) ) )
6335, 59, 623bitr4d 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  A #  B
) )
64 zapne 9327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  z
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z )  <-> 
( x  x.  w
)  =/=  ( y  x.  z ) ) )
6537, 40, 64syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  ( x  x.  w )  =/=  (
y  x.  z ) ) )
6663, 65bitr3d 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  ( x  x.  w )  =/=  (
y  x.  z ) ) )
6763notbid 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( -.  ( x  x.  w
) #  ( y  x.  z )  <->  -.  A #  B ) )
68 apti 8579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  x.  w
)  e.  CC  /\  ( y  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x  x.  w )  =  ( y  x.  z
)  <->  -.  ( x  x.  w ) #  ( y  x.  z ) ) )
6938, 41, 68syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( y  x.  z )  <->  -.  (
x  x.  w ) #  ( y  x.  z
) ) )
70 qcn 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
7170ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
7271ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  A  e.  CC )
7361, 17eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  B  e.  CC )
74 apti 8579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B )
)
7572, 73, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B ) )
7667, 69, 753bitr4d 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =  ( y  x.  z )  <->  A  =  B ) )
7776necon3bid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  (
( x  x.  w
)  =/=  ( y  x.  z )  <->  A  =/=  B ) )
7866, 77bitrd 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  /\  A  =  ( x  /  y
) )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) )
7978ex 115 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) ) )
8079rexlimdvva 2602 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) ) )
816, 80mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B
) )
8281ex 115 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) ) )
8382rexlimdvva 2602 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) ) )
843, 83mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812    x. cmul 7816   # cap 8538    / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZcz 9253   QQcq 9619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620
This theorem is referenced by:  qltlen  9640  qlttri2  9641  qreccl  9642  qdivcl  9643  irrmul  9647  flqltnz  10287  modqmulnn  10342  qexpclz  10541  sqrt2irraplemnn  12179  pceu  12295  pcdiv  12302  pcqdiv  12307  pcexp  12309  pcaddlem  12338  qexpz  12350  apdiff  14799
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