Theorem qapne 9971

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem qapne

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9954	. . . 4 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( B e. QQ -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
4		simplll 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> A e. QQ )
5		elq 9954	. . . . . 6 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
7		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
8	7	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. CC )
9		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> z e. ZZ )
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. CC )
12		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> w e. NN )
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. NN )
14	13	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. CC )
15		nnap0 9266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. NN -> w # 0 )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w # 0 )
17	11, 14, 16	divclapd 9064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) e. CC )
18		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. NN )
19	18	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. CC )
20	17, 19	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. y ) e. CC )
21		nnap0 9266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y # 0 )
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y # 0 )
23	19, 22	recclapd 9055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
24	19, 22	recap0d 9056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) # 0 )
25		apmul1 9062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( z / w ) x. y ) e. CC /\ ( ( 1 / y ) e. CC /\ ( 1 / y ) # 0 ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
27	8, 19, 22	divrecapd 9067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x / y ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
28	27	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( 1 / y ) ) = ( x / y ) )
29	17, 19, 23	mulassd 8297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) )
30	19, 22	recidapd 9057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( 1 / y ) ) = 1 )
31	30	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) = ( ( z / w ) x. 1 ) )
32	17	mulridd 8291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. 1 ) = ( z / w ) )
33	29, 31, 32	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( z / w ) )
34	28, 33	breq12d 4122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
35	26, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
36	13	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. ZZ )
37	7, 36	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
38	37	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. CC )
39	18	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. ZZ )
40	39, 10	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. CC )
42	14, 16	recclapd 9055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) e. CC )
43	14, 16	recap0d 9056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) # 0 )
44		apmul1 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC /\ ( ( 1 / w ) e. CC /\ ( 1 / w ) # 0 ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
46	8, 14, 42	mulassd 8297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) )
47	14, 16	recidapd 9057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( w x. ( 1 / w ) ) = 1 )
48	47	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) = ( x x. 1 ) )
49	8	mulridd 8291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
50	46, 48, 49	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = x )
51	50	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
53	19, 11, 42	mulassd 8297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
54	11, 14, 16	divrecapd 9067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) = ( z x. ( 1 / w ) ) )
55	54	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
56	19, 17	mulcomd 8295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
58	57	breq2d 4121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
59	52, 58	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A = ( x / y ) )
61		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B = ( z / w ) )
62	60, 61	breq12d 4122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
63	35, 59, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> A # B ) )
64		zapne 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. w ) e. ZZ /\ ( y x. z ) e. ZZ ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
65	37, 40, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
66	63, 65	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
67	63	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( -. ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> -. A # B ) )
68		apti 8896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
69	38, 41, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
70		qcn 9966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> A e. CC )
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A e. CC )
73	61, 17	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B e. CC )
74		apti 8896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
76	67, 69, 75	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> A = B ) )
77	76	necon3bid 2453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) =/= ( y x. z ) <-> A =/= B ) )
78	66, 77	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
79	78	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
80	79	rexlimdvva 2668	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
82	81	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
83	82	rexlimdvva 2668	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
84	3, 83	mpd 13	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   # cap 8855   / cdiv 8946   NNcn 9237   ZZcz 9577   QQcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by:  qltlen  9972  qlttri2  9973  qreccl  9974  qdivcl  9975  irrmul  9979  irrmulap  9980  flqltnz  10647  modqmulnn  10704  qexpclz  10922  sqrt2irraplemnn  12876  pceu  12993  pcdiv  13000  pcqdiv  13005  pcexp  13007  pcaddlem  13037  qexpz  13050  apdiff  16832  qdiff  16833