Theorem qapne 9458

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem qapne

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9441	. . . 4 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( B e. QQ -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
4		simplll 523	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> A e. QQ )
5		elq 9441	. . . . . 6 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
6	4, 5	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
7		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
8	7	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. CC )
9		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> z e. ZZ )
10	9	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> z e. CC )
12		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> w e. NN )
13	12	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. NN )
14	13	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. CC )
15		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. NN -> w # 0 )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w # 0 )
17	11, 14, 16	divclapd 8574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) e. CC )
18		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. NN )
19	18	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. CC )
20	17, 19	mulcld 7810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. y ) e. CC )
21		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> y # 0 )
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y # 0 )
23	19, 22	recclapd 8565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
24	19, 22	recap0d 8566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / y ) # 0 )
25		apmul1 8572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( z / w ) x. y ) e. CC /\ ( ( 1 / y ) e. CC /\ ( 1 / y ) # 0 ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
27	8, 19, 22	divrecapd 8577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x / y ) = ( x x. ( 1 / y ) ) )
28	27	eqcomd 2146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( 1 / y ) ) = ( x / y ) )
29	17, 19, 23	mulassd 7813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) )
30	19, 22	recidapd 8567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( 1 / y ) ) = 1 )
31	30	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. ( y x. ( 1 / y ) ) ) = ( ( z / w ) x. 1 ) )
32	17	mulid1d 7807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( z / w ) x. 1 ) = ( z / w ) )
33	29, 31, 32	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) = ( z / w ) )
34	28, 33	breq12d 3950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. ( 1 / y ) ) # ( ( ( z / w ) x. y ) x. ( 1 / y ) ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
35	26, 34	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( z / w ) x. y ) <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
36	13	nnzd 9196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> w e. ZZ )
37	7, 36	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
38	37	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. w ) e. CC )
39	18	nnzd 9196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> y e. ZZ )
40	39, 10	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
41	40	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. z ) e. CC )
42	14, 16	recclapd 8565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) e. CC )
43	14, 16	recap0d 8566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / w ) # 0 )
44		apmul1 8572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC /\ ( ( 1 / w ) e. CC /\ ( 1 / w ) # 0 ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
46	8, 14, 42	mulassd 7813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) )
47	14, 16	recidapd 8567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( w x. ( 1 / w ) ) = 1 )
48	47	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. ( w x. ( 1 / w ) ) ) = ( x x. 1 ) )
49	8	mulid1d 7807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
50	46, 48, 49	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) = x )
51	50	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( ( x x. w ) x. ( 1 / w ) ) # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) ) )
53	19, 11, 42	mulassd 7813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
54	11, 14, 16	divrecapd 8577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( z / w ) = ( z x. ( 1 / w ) ) )
55	54	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( y x. ( z x. ( 1 / w ) ) ) )
56	19, 17	mulcomd 7811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( y x. ( z / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) = ( ( z / w ) x. y ) )
58	57	breq2d 3949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # ( ( y x. z ) x. ( 1 / w ) ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
59	52, 58	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> x # ( ( z / w ) x. y ) ) )
60		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A = ( x / y ) )
61		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B = ( z / w ) )
62	60, 61	breq12d 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x / y ) # ( z / w ) ) )
63	35, 59, 62	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> A # B ) )
64		zapne 9149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. w ) e. ZZ /\ ( y x. z ) e. ZZ ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
65	37, 40, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
66	63, 65	bitr3d 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> ( x x. w ) =/= ( y x. z ) ) )
67	63	notbid 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( -. ( x x. w ) # ( y x. z ) <-> -. A # B ) )
68		apti 8408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. w ) e. CC /\ ( y x. z ) e. CC ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
69	38, 41, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> -. ( x x. w ) # ( y x. z ) ) )
70		qcn 9453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
71	70	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> A e. CC )
72	71	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> A e. CC )
73	61, 17	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> B e. CC )
74		apti 8408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
76	67, 69, 75	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) = ( y x. z ) <-> A = B ) )
77	76	necon3bid 2350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( ( x x. w ) =/= ( y x. z ) <-> A =/= B ) )
78	66, 77	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
79	78	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. NN ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
80	79	rexlimdvva 2560	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
82	81	ex 114	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
83	82	rexlimdvva 2560	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A # B <-> A =/= B ) ) )
84	3, 83	mpd 13	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   ZZcz 9078   QQcq 9438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439

This theorem is referenced by:  qltlen  9459  qlttri2  9460  qreccl  9461  qdivcl  9462  irrmul  9466  flqltnz  10091  modqmulnn  10146  qexpclz  10345  sqrt2irraplemnn  11893  apdiff  13416