ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqltnz GIF version

Theorem flqltnz 10190
Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqltnz ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem flqltnz
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ 𝐴 ∈ ℤ)
2 flqidz 10189 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
32adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
41, 3mtbird 663 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
54neqned 2334 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≠ 𝐴)
65necomd 2413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
87flqcld 10180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9 zq 9536 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
108, 9syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11 qapne 9549 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
1210, 11syldan 280 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
136, 12mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 # (⌊‘𝐴))
148zred 9287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
15 qre 9535 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 flqlelt 10179 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1817adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1918simpld 111 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
2014, 16, 19leltapd 8515 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 # (⌊‘𝐴)))
2113, 20mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327   class class class wbr 3966  cfv 5171  (class class class)co 5825  cr 7732  1c1 7734   + caddc 7736   < clt 7913  cle 7914   # cap 8457  cz 9168  cq 9529  cfl 10171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-q 9530  df-rp 9562  df-fl 10173
This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  11830
  Copyright terms: Public domain W3C validator