Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqltnz GIF version

Theorem flqltnz 9843
 Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqltnz ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem flqltnz
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ 𝐴 ∈ ℤ)
2 flqidz 9842 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
32adantr 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
41, 3mtbird 636 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
54neqned 2269 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≠ 𝐴)
65necomd 2348 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
87flqcld 9833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9 zq 9210 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
108, 9syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11 qapne 9223 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
1210, 11syldan 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
136, 12mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 # (⌊‘𝐴))
148zred 8967 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
15 qre 9209 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 flqlelt 9832 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1817adantr 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1918simpld 111 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
2014, 16, 19leltapd 8211 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 # (⌊‘𝐴)))
2113, 20mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ≠ wne 2262   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℝcr 7446  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619   ≤ cle 7620   # cap 8155  ℤcz 8848  ℚcq 9203  ⌊cfl 9824 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826 This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  11362
 Copyright terms: Public domain W3C validator