Theorem flqltnz 10428

Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqltnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem flqltnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ 𝐴 ∈ ℤ)
2		flqidz 10427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
4	1, 3	mtbird 674	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
5	4	neqned 2382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≠ 𝐴)
6	5	necomd 2461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8	7	flqcld 10418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9		zq 9746	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11		qapne 9759	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
12	10, 11	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
13	6, 12	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 # (⌊‘𝐴))
14	8	zred 9494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
15		qre 9745	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		flqlelt 10417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
19	18	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
20	14, 16, 19	leltapd 8711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ 𝐴 # (⌊‘𝐴)))
21	13, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℝcr 7923  1c1 7925   + caddc 7927   < clt 8106   ≤ cle 8107   # cap 8653  ℤcz 9371  ℚcq 9739  ⌊cfl 10409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-q 9740  df-rp 9775  df-fl 10411

This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  12190