Theorem flqltnz 10502

Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqltnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem flqltnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ 𝐴 ∈ ℤ)
2		flqidz 10501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
4	1, 3	mtbird 677	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
5	4	neqned 2407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≠ 𝐴)
6	5	necomd 2486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8	7	flqcld 10492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9		zq 9817	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11		qapne 9830	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
12	10, 11	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 # (⌊‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)))
13	6, 12	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 # (⌊‘𝐴))
14	8	zred 9565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
15		qre 9816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		flqlelt 10491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
19	18	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
20	14, 16, 19	leltapd 8782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ 𝐴 # (⌊‘𝐴)))
21	13, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   ≤ cle 8178   # cap 8724  ℤcz 9442  ℚcq 9810  ⌊cfl 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fl 10485

This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  12443