Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgrcl Unicode version

Theorem frecuzrdgrcl 10291
 Description: The function (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) is a function defined for all natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1
frec2uz.2 frec
frecuzrdgrrn.a
frecuzrdgrrn.f
frecuzrdgrrn.2 frec
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgrcl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem frecuzrdgrcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1st2nd2 6117 . . . . . . 7
21adantl 275 . . . . . 6
32fveq2d 5469 . . . . 5
4 df-ov 5821 . . . . . . 7
5 xp1st 6107 . . . . . . . . 9
65adantl 275 . . . . . . . 8
7 xp2nd 6108 . . . . . . . . 9
87adantl 275 . . . . . . . 8
9 peano2uz 9477 . . . . . . . . . 10
106, 9syl 14 . . . . . . . . 9
11 frecuzrdgrrn.f . . . . . . . . . . . 12
1211ralrimivva 2539 . . . . . . . . . . 11
1312adantr 274 . . . . . . . . . 10
14 oveq1 5825 . . . . . . . . . . . . 13
1514eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . 12
16 oveq2 5826 . . . . . . . . . . . . 13
1716eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . 12
1815, 17rspc2v 2829 . . . . . . . . . . 11
196, 8, 18syl2anc 409 . . . . . . . . . 10
2013, 19mpd 13 . . . . . . . . 9
21 opelxp 4613 . . . . . . . . 9
2210, 20, 21sylanbrc 414 . . . . . . . 8
23 oveq1 5825 . . . . . . . . . 10
2423, 14opeq12d 3749 . . . . . . . . 9
2516opeq2d 3748 . . . . . . . . 9
26 eqid 2157 . . . . . . . . 9
2724, 25, 26ovmpog 5949 . . . . . . . 8
286, 8, 22, 27syl3anc 1220 . . . . . . 7
294, 28syl5eqr 2204 . . . . . 6
3029, 22eqeltrd 2234 . . . . 5
313, 30eqeltrd 2234 . . . 4
3231ralrimiva 2530 . . 3
33 frec2uz.1 . . . . 5
34 uzid 9436 . . . . 5
3533, 34syl 14 . . . 4
36 frecuzrdgrrn.a . . . 4
37 opelxp 4613 . . . 4
3835, 36, 37sylanbrc 414 . . 3
39 frecfcl 6346 . . 3 frec
4032, 38, 39syl2anc 409 . 2 frec
41 frecuzrdgrrn.2 . . 3 frec
4241feq1i 5309 . 2 frec
4340, 42sylibr 133 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  cop 3563   cmpt 4025  com 4547   cxp 4581  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818   cmpo 5820  c1st 6080  c2nd 6081  freccfrec 6331  c1 7716   caddc 7718  cz 9150  cuz 9422 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423 This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  10292  frecuzrdgtcl  10293  frecuzrdg0  10294
 Copyright terms: Public domain W3C validator