Theorem fzctr 10317

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))

Proof of Theorem fzctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9382	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2		nn0re 9366	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nn0addge1 9403	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))
4	2, 3	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))
5		nn0cn 9367	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	2timesd 9342	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
7	4, 6	breqtrrd 4110	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
8		nn0z 9454	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		0zd 9446	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
10		2z 9462	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zmulcl 9488	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 8, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
13		elfz 10198	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
14	8, 9, 12, 13	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
15	1, 7, 14	mpbir2and 950	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  0cc0 7987   + caddc 7990   · cmul 7992   ≤ cle 8170  2c2 9149  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434  ...cfz 10192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-fz 10193

This theorem is referenced by: (None)