Theorem fzctr 10089

Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))

Proof of Theorem fzctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9160	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2		nn0re 9144	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		nn0addge1 9181	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))
4	2, 3	mpancom 420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))
5		nn0cn 9145	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	2timesd 9120	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
7	4, 6	breqtrrd 4017	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
8		nn0z 9232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		0zd 9224	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
10		2z 9240	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zmulcl 9265	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 8, 11	sylancr 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
13		elfz 9971	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
14	8, 9, 12, 13	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
15	1, 7, 14	mpbir2and 939	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   ≤ cle 7955  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-fz 9966

This theorem is referenced by: (None)