ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrev GIF version

Theorem fzrev 9986
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 9171 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2 zre 9171 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3 zre 9171 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 suble 8315 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
51, 2, 3, 4syl3an 1262 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
653comr 1193 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
763expb 1186 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
87adantll 468 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
9 zre 9171 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
10 lesub 8316 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
119, 1, 2, 10syl3an 1262 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
12113expb 1186 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
1312adantlr 469 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
148, 13anbi12d 465 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝐽𝐾)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
15 ancom 264 . . 3 (((𝐽𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝐽𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁))
1614, 15bitr3di 194 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
17 simprr 522 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18 zsubcl 9208 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
1918ancoms 266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
2019ad2ant2lr 502 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
21 zsubcl 9208 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
2221ancoms 266 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
2322ad2ant2r 501 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
24 elfz 9918 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
2517, 20, 23, 24syl3anc 1220 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
26 zsubcl 9208 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2726adantl 275 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
28 simpll 519 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simplr 520 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 elfz 9918 . . 3 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1220 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
3216, 25, 313bitr4d 219 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  cr 7731  cle 7913  cmin 8046  cz 9167  ...cfz 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-fz 9913
This theorem is referenced by:  fzrev2  9987  fzrev3  9989  fzrevral  10007  fsumrev  11340  fprodrev  11516
  Copyright terms: Public domain W3C validator