Theorem fzrev 10440

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 9598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 9598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		suble 8731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
6	5	3comr 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
7	6	3expb 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
8	7	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
9		zre 9598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
10		lesub 8732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
11	9, 1, 2, 10	syl3an 1316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
12	11	3expb 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
13	12	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
14	8, 13	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
15		ancom 266	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁))
16	14, 15	bitr3di 195	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
17		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18		zsubcl 9635	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
21		zsubcl 9635	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
23	22	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
24		elfz 10367	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
25	17, 20, 23, 24	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
26		zsubcl 9635	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	26	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
28		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr 529	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz 10367	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
32	16, 25, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142   ≤ cle 8325   − cmin 8460  ℤcz 9594  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  fzrev2  10441  fzrev3  10443  fzrevral  10461  fsumrev  12154  fprodrev  12330  ballotfilemsima  13203