Theorem fzrev 10280

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 9450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 9450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		suble 8587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
6	5	3comr 1235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
7	6	3expb 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
8	7	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
9		zre 9450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
10		lesub 8588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
11	9, 1, 2, 10	syl3an 1313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
12	11	3expb 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
13	12	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
14	8, 13	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
15		ancom 266	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁))
16	14, 15	bitr3di 195	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
17		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18		zsubcl 9487	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
21		zsubcl 9487	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
23	22	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
24		elfz 10210	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
25	17, 20, 23, 24	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
26		zsubcl 9487	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	26	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
28		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz 10210	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
32	16, 25, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001  ℝcr 7998   ≤ cle 8182   − cmin 8317  ℤcz 9446  ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  fzrev2  10281  fzrev3  10283  fzrevral  10301  fsumrev  11954  fprodrev  12130