Theorem ghmgrp1 13625

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 13623	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 112	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  Grpcgrp 13376   GrpHom cghm 13620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-inn 9044  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-ghm 13621

This theorem is referenced by:  ghmid  13629  ghminv  13630  ghmsub  13631  ghmmhm  13633  ghmmulg  13636  ghmrn  13637  resghm2  13641  resghm2b  13642  ghmco  13644  ghmpreima  13646  ghmeql  13647  ghmnsgima  13648  ghmnsgpreima  13649  ghmeqker  13651  f1ghm0to0  13652  ghmf1  13653  kerf1ghm  13654  ghmf1o  13655  ghmpropd  13663  invghm  13709