Theorem ghmgrp1 13782

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 13780	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 112	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  Basecbs 13032  +_gcplusg 13110  Grpcgrp 13533   GrpHom cghm 13777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-inn 9111  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-ghm 13778

This theorem is referenced by:  ghmid  13786  ghminv  13787  ghmsub  13788  ghmmhm  13790  ghmmulg  13793  ghmrn  13794  resghm2  13798  resghm2b  13799  ghmco  13801  ghmpreima  13803  ghmeql  13804  ghmnsgima  13805  ghmnsgpreima  13806  ghmeqker  13808  f1ghm0to0  13809  ghmf1  13810  kerf1ghm  13811  ghmf1o  13812  ghmpropd  13820  invghm  13866