Theorem ghmgrp1 13954

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 13952	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 112	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  Grpcgrp 13705   GrpHom cghm 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-inn 9237  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-ghm 13950

This theorem is referenced by:  ghmid  13958  ghminv  13959  ghmsub  13960  ghmmhm  13962  ghmmulg  13965  ghmrn  13966  resghm2  13970  resghm2b  13971  ghmco  13973  ghmpreima  13975  ghmeql  13976  ghmnsgima  13977  ghmnsgpreima  13978  ghmeqker  13980  f1ghm0to0  13981  ghmf1  13982  kerf1ghm  13983  ghmf1o  13984  ghmpropd  13992  invghm  14038