Theorem hashdifsn 11036

Description: The size of the difference of a finite set and a singleton subset is the set's size minus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifsn	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))

Proof of Theorem hashdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		snfig 6965	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ∈ Fin)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → {𝐵} ∈ Fin)
4		snssi 3811	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
6		fihashssdif 11035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − (♯‘{𝐵})))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − (♯‘{𝐵})))
8		hashsng 11015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝐵}) = 1)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘{𝐵}) = 1)
10	9	oveq2d 6016	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘{𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
11	7, 10	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∖ cdif 3194   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Fincfn 6885  1c1 7996   − cmin 8313  ♯chash 10992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-ihash 10993

This theorem is referenced by:  hashdifpr  11037  zfz1isolemsplit  11055  zfz1isolemiso  11056  zfz1isolem1  11057  fsumdifsnconst  11961  hash2iun1dif1  11986