Theorem zfz1isolemsplit 10686

Description: Lemma for zfz1iso 10689. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
zfz1isolemsplit.mx	|- ( ph -> M e. X )

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	|- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9173	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. X )
4		diffisn 6827	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> ( X \ { M } ) e. Fin )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { M } ) e. Fin )
6		hashcl 10632	. . . . 5 |- ( ( X \ { M } ) e. Fin -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
8		nn0uz 9452	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9		1m1e0 8881	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
10	9	fveq2i 5464	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
11	8, 10	eqtr4i 2178	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
12	7, 11	eleqtrdi 2247	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
13		fzsuc2 9959	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
14	1, 12, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
15		hashdifsn 10670	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
16	2, 3, 15	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 5829	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) )
18		hashcl 10632	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin -> (♯ ` X ) e. NN0 )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. NN0 )
20	19	nn0cnd 9124	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. CC )
21		1cnd 7873	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
22	20, 21	npcand 8169	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
23	17, 22	eqtrd 2187	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
24	23	oveq2d 5830	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... (♯ ` X ) ) )
25	23	sneqd 3569	. . 3 |- ( ph -> { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } = { (♯ ` X ) } )
26	25	uneq2d 3257	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2195	1 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 2125   \ cdif 3095   u. cun 3096   {csn 3556   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   Fincfn 6674   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   - cmin 8025   NN0cn0 9069   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418   ...cfz 9890  ♯chash 10626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-ihash 10627

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10687  zfz1isolem1  10688