Theorem zfz1isolemsplit 10947

Description: Lemma for zfz1iso 10950. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
zfz1isolemsplit.mx	|- ( ph -> M e. X )

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	|- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9370	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. X )
4		diffisn 6963	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> ( X \ { M } ) e. Fin )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { M } ) e. Fin )
6		hashcl 10890	. . . . 5 |- ( ( X \ { M } ) e. Fin -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
8		nn0uz 9653	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9		1m1e0 9076	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
10	9	fveq2i 5564	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
11	8, 10	eqtr4i 2220	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
12	7, 11	eleqtrdi 2289	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
13		fzsuc2 10171	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
14	1, 12, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
15		hashdifsn 10928	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
16	2, 3, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) )
18		hashcl 10890	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin -> (♯ ` X ) e. NN0 )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. NN0 )
20	19	nn0cnd 9321	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. CC )
21		1cnd 8059	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
22	20, 21	npcand 8358	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
23	17, 22	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
24	23	oveq2d 5941	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... (♯ ` X ) ) )
25	23	sneqd 3636	. . 3 |- ( ph -> { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } = { (♯ ` X ) } )
26	25	uneq2d 3318	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2237	1 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   u. cun 3155   {csn 3623   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ♯chash 10884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-ihash 10885

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10948  zfz1isolem1  10949