Theorem zfz1isolemsplit 10909

Description: Lemma for zfz1iso 10912. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
zfz1isolemsplit.mx	|- ( ph -> M e. X )

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	|- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9344	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. X )
4		diffisn 6949	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> ( X \ { M } ) e. Fin )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { M } ) e. Fin )
6		hashcl 10852	. . . . 5 |- ( ( X \ { M } ) e. Fin -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
8		nn0uz 9627	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9		1m1e0 9051	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
10	9	fveq2i 5557	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
11	8, 10	eqtr4i 2217	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
12	7, 11	eleqtrdi 2286	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
13		fzsuc2 10145	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
14	1, 12, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
15		hashdifsn 10890	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
16	2, 3, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) )
18		hashcl 10852	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin -> (♯ ` X ) e. NN0 )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. NN0 )
20	19	nn0cnd 9295	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. CC )
21		1cnd 8035	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
22	20, 21	npcand 8334	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
23	17, 22	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
24	23	oveq2d 5934	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... (♯ ` X ) ) )
25	23	sneqd 3631	. . 3 |- ( ph -> { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } = { (♯ ` X ) } )
26	25	uneq2d 3313	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2234	1 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3150   u. cun 3151   {csn 3618   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ♯chash 10846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-ihash 10847

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10910  zfz1isolem1  10911