Theorem zfz1isolemsplit 10613

Description: Lemma for zfz1iso 10616. Removing one element from an integer range. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zfz1isolemsplit.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
zfz1isolemsplit.mx	|- ( ph -> M e. X )

Assertion

Ref	Expression
zfz1isolemsplit	|- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Proof of Theorem zfz1isolemsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9105	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		zfz1isolemsplit.xf	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
3		zfz1isolemsplit.mx	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. X )
4		diffisn 6795	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> ( X \ { M } ) e. Fin )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { M } ) e. Fin )
6		hashcl 10559	. . . . 5 |- ( ( X \ { M } ) e. Fin -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. NN0 )
8		nn0uz 9384	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9		1m1e0 8813	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
10	9	fveq2i 5432	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
11	8, 10	eqtr4i 2164	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
12	7, 11	eleqtrdi 2233	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
13		fzsuc2 9890	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` ( X \ { M } ) ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
14	1, 12, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) )
15		hashdifsn 10597	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ M e. X ) -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
16	2, 3, 15	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( X \ { M } ) ) = ( (♯ ` X ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 5797	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) )
18		hashcl 10559	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin -> (♯ ` X ) e. NN0 )
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. NN0 )
20	19	nn0cnd 9056	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` X ) e. CC )
21		1cnd 7806	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
22	20, 21	npcand 8101	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (♯ ` X ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
23	17, 22	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) = (♯ ` X ) )
24	23	oveq2d 5798	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... (♯ ` X ) ) )
25	23	sneqd 3545	. . 3 |- ( ph -> { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } = { (♯ ` X ) } )
26	25	uneq2d 3235	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { ( (♯ ` ( X \ { M } ) ) + 1 ) } ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )
27	14, 24, 26	3eqtr3d 2181	1 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` X ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` ( X \ { M } ) ) ) u. { (♯ ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   \ cdif 3073   u. cun 3074   {csn 3532   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   Fincfn 6642   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821  ♯chash 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-ihash 10554

This theorem is referenced by:  zfz1isolemiso  10614  zfz1isolem1  10615