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Theorem imval2 11579
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 11539 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
21recnd 8302 . . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
3 2mulicn 9460 . . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
4 2muliap0 9462 . . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
5 divcanap4 8973 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
63, 4, 5mp3an23 1366 . . 3 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
72, 6syl 14 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
8 recl 11538 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
98recnd 8302 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10 ax-icn 8222 . . . . . . 7 |- _i e. CC
11 mulcl 8254 . . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1210, 2, 11sylancr 414 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
139, 12addcld 8293 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
1413, 9, 12subsubd 8612 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15 replim 11544 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16 remim 11545 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
1715, 16oveq12d 6068 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
18122timesd 9481 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19 mulcom 8256 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
203, 19mpan2 425 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
21 2cn 9308 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22 mulass 8258 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2321, 10, 22mp3an12 1364 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2265 . . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
252, 24syl 14 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
269, 12pncan2d 8586 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) )
2726oveq1d 6065 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2818, 25, 273eqtr4d 2275 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2914, 17, 283eqtr4rd 2276 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( A - ( * ` A ) ) )
3029oveq1d 6065 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
317, 30eqtr3d 2267 1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   _ici 8129   + caddc 8130   x. cmul 8132   - cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   *ccj 11524   Recre 11525   Imcim 11526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-2 9296  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529
This theorem is referenced by:  resinval  12401
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