Theorem imval2 10293

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 10253	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
2	1	recnd 7495	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
3		2mulicn 8608	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
4		2muliap0 8610	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
5		divcanap4 8140	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1265	. . 3 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
7	2, 6	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
8		recl 10252	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 7495	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10		ax-icn 7419	. . . . . . 7 |- _i e. CC
11		mulcl 7448	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
12	10, 2, 11	sylancr 405	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
13	9, 12	addcld 7486	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
14	13, 9, 12	subsubd 7800	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15		replim 10258	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16		remim 10259	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
17	15, 16	oveq12d 5652	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
18	12	2timesd 8628	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19		mulcom 7450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
20	3, 19	mpan2 416	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
21		2cn 8464	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22		mulass 7452	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23	21, 10, 22	mp3an12 1263	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
24	20, 23	eqtrd 2120	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
26	9, 12	pncan2d 7774	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) )
27	26	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2130	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2131	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( A - ( * ` A ) ) )
30	29	oveq1d 5649	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
31	7, 30	eqtr3d 2122	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   _ici 7331   + caddc 7332   x. cmul 7334   - cmin 7632   # cap 8034   / cdiv 8113   2c2 8444   *ccj 10238   Recre 10239   Imcim 10240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243

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