Theorem imval2 11637

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 11597	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
2	1	recnd 8344	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
3		2mulicn 9506	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
4		2muliap0 9508	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
5		divcanap4 9019	. . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1370	. . 3 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
7	2, 6	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
8		recl 11596	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 8344	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10		ax-icn 8264	. . . . . . 7 |- _i e. CC
11		mulcl 8296	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
12	10, 2, 11	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
13	9, 12	addcld 8335	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
14	13, 9, 12	subsubd 8655	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15		replim 11602	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16		remim 11603	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
17	15, 16	oveq12d 6093	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
18	12	2timesd 9527	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19		mulcom 8298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
20	3, 19	mpan2 429	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
21		2cn 9354	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22		mulass 8300	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23	21, 10, 22	mp3an12 1368	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
24	20, 23	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
26	9, 12	pncan2d 8629	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) )
27	26	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2282	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( A - ( * ` A ) ) )
30	29	oveq1d 6090	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
31	7, 30	eqtr3d 2273	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   _ici 8171   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   2c2 9334   *ccj 11582   Recre 11583   Imcim 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587

This theorem is referenced by:  resinval  12460