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Theorem imval2 10938
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 10898 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21recnd 8017 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
3 2mulicn 9172 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4 2muliap0 9174 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i ) #  0
5 divcanap4 8687 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i ) #  0 )  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
63, 4, 5mp3an23 1340 . . 3  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
72, 6syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
8 recl 10897 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98recnd 8017 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
10 ax-icn 7937 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
11 mulcl 7969 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1210, 2, 11sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
139, 12addcld 8008 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
1413, 9, 12subsubd 8327 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
15 replim 10903 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
16 remim 10904 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1715, 16oveq12d 5915 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( * `  A ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
18122timesd 9192 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
19 mulcom 7971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )
203, 19mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) )
21 2cn 9021 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
22 mulass 7973 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2321, 10, 22mp3an12 1338 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2222 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
269, 12pncan2d 8301 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( Re
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
2726oveq1d 5912 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2818, 25, 273eqtr4d 2232 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2914, 17, 283eqtr4rd 2233 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( A  -  ( * `  A
) ) )
3029oveq1d 5912 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
317, 30eqtr3d 2224 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842   _ici 7844    + caddc 7845    x. cmul 7847    - cmin 8159   # cap 8569    / cdiv 8660   2c2 9001   *ccj 10883   Recre 10884   Imcim 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-2 9009  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888
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