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Theorem imval2 11675
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 11635 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
21recnd 8355 . . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
3 2mulicn 9532 . . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
4 2muliap0 9534 . . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
5 divcanap4 9032 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
63, 4, 5mp3an23 1370 . . 3 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
72, 6syl 14 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
8 recl 11634 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
98recnd 8355 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10 ax-icn 8275 . . . . . . 7 |- _i e. CC
11 mulcl 8307 . . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1210, 2, 11sylancr 418 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
139, 12addcld 8346 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
1413, 9, 12subsubd 8667 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15 replim 11640 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16 remim 11641 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
1715, 16oveq12d 6103 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
18122timesd 9553 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19 mulcom 8309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
203, 19mpan2 429 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
21 2cn 9378 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22 mulass 8311 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2321, 10, 22mp3an12 1368 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2271 . . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
252, 24syl 14 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
269, 12pncan2d 8641 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) )
2726oveq1d 6100 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2818, 25, 273eqtr4d 2281 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2914, 17, 283eqtr4rd 2282 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( A - ( * ` A ) ) )
3029oveq1d 6100 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
317, 30eqtr3d 2273 1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   0cc0 8180   _ici 8182   + caddc 8183   x. cmul 8185   - cmin 8499   # cap 8912   / cdiv 9005   2c2 9358   *ccj 11620   Recre 11621   Imcim 11622
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-2 9366  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625
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