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Theorem imval2 10293
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 10253 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21recnd 7495 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
3 2mulicn 8608 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4 2muliap0 8610 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i ) #  0
5 divcanap4 8140 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i ) #  0 )  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
63, 4, 5mp3an23 1265 . . 3  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
72, 6syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
8 recl 10252 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
10 ax-icn 7419 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
11 mulcl 7448 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1210, 2, 11sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
139, 12addcld 7486 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
1413, 9, 12subsubd 7800 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
15 replim 10258 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
16 remim 10259 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1715, 16oveq12d 5652 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( * `  A ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
18122timesd 8628 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
19 mulcom 7450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )
203, 19mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) )
21 2cn 8464 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
22 mulass 7452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2321, 10, 22mp3an12 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
252, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
269, 12pncan2d 7774 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( Re
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
2726oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2818, 25, 273eqtr4d 2130 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2914, 17, 283eqtr4rd 2131 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( A  -  ( * `  A
) ) )
3029oveq1d 5649 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
317, 30eqtr3d 2122 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   _ici 7331    + caddc 7332    x. cmul 7334    - cmin 7632   # cap 8034    / cdiv 8113   2c2 8444   *ccj 10238   Recre 10239   Imcim 10240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243
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