Theorem imval2 11682

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 11642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 8361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		2mulicn 9539	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
4		2muliap0 9541	. . . 4 ⊢ (2 · i) # 0
5		divcanap4 9038	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0) → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
6	3, 4, 5	mp3an23 1370	. . 3 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
7	2, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
8		recl 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ax-icn 8281	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
11		mulcl 8313	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	9, 12	addcld 8352	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14	13, 9, 12	subsubd 8673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15		replim 11647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		remim 11648	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
17	15, 16	oveq12d 6106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
18	12	2timesd 9560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19		mulcom 8315	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
20	3, 19	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
21		2cn 9385	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		mulass 8317	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
23	21, 10, 22	mp3an12 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
24	20, 23	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	9, 12	pncan2d 8647	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)))
27	26	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
30	29	oveq1d 6103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
31	7, 30	eqtr3d 2273	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  ici 8188   + caddc 8189   · cmul 8191   − cmin 8505   # cap 8918   / cdiv 9011  2c2 9365  ∗ccj 11627  ℜcre 11628  ℑcim 11629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-2 9373  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632

This theorem is used by:  resinval  12508