Theorem imval2 10944

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 10904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 8021	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		2mulicn 9176	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
4		2muliap0 9178	. . . 4 ⊢ (2 · i) # 0
5		divcanap4 8691	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0) → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
6	3, 4, 5	mp3an23 1340	. . 3 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
7	2, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
8		recl 10903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ax-icn 7941	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
11		mulcl 7973	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	9, 12	addcld 8012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14	13, 9, 12	subsubd 8331	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15		replim 10909	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		remim 10910	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
17	15, 16	oveq12d 5918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
18	12	2timesd 9196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19		mulcom 7975	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
20	3, 19	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
21		2cn 9025	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		mulass 7977	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
23	21, 10, 22	mp3an12 1338	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
24	20, 23	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	9, 12	pncan2d 8305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)))
27	26	oveq1d 5915	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
30	29	oveq1d 5915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
31	7, 30	eqtr3d 2224	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  0cc0 7846  ici 7848   + caddc 7849   · cmul 7851   − cmin 8163   # cap 8573   / cdiv 8664  2c2 9005  ∗ccj 10889  ℜcre 10890  ℑcim 10891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-2 9013  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894

This theorem is referenced by:  resinval  11764