ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imval2 GIF version

Theorem imval2 10903
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 10863 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 7986 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 2mulicn 9141 . . . 4 (2 ยท i) โˆˆ โ„‚
4 2muliap0 9143 . . . 4 (2 ยท i) # 0
5 divcanap4 8656 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) # 0) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
63, 4, 5mp3an23 1329 . . 3 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
72, 6syl 14 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
8 recl 10862 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98recnd 7986 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 ax-icn 7906 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
11 mulcl 7938 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1210, 2, 11sylancr 414 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
139, 12addcld 7977 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1413, 9, 12subsubd 8296 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
15 replim 10868 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
16 remim 10869 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1715, 16oveq12d 5893 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
18122timesd 9161 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
19 mulcom 7940 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
203, 19mpan2 425 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
21 2cn 8990 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
22 mulass 7942 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2321, 10, 22mp3an12 1327 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2420, 23eqtrd 2210 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
252, 24syl 14 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
269, 12pncan2d 8270 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
2726oveq1d 5890 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2818, 25, 273eqtr4d 2220 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2914, 17, 283eqtr4rd 2221 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
3029oveq1d 5890 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
317, 30eqtr3d 2212 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  ici 7813   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  โˆ—ccj 10848  โ„œcre 10849  โ„‘cim 10850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-2 8978  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853
This theorem is referenced by:  resinval  11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator