ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cxple Unicode version

Theorem cxple 13043
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B  <_  C  <->  ( A  ^c  B )  <_  ( A  ^c  C )
) )

Proof of Theorem cxple
StepHypRef Expression
1 cxplt 13042 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  <  B  <->  ( A  ^c  C )  <  ( A  ^c  B ) ) )
21ancom2s 556 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( C  <  B  <->  ( A  ^c  C )  <  ( A  ^c  B ) ) )
32notbid 657 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( -.  C  < 
B  <->  -.  ( A  ^c  C )  <  ( A  ^c  B ) ) )
4 lenlt 7863 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  -.  C  <  B ) )
54adantl 275 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B  <_  C  <->  -.  C  <  B ) )
6 simpll 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
7 0red 7790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  e.  RR )
8 1red 7804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
1  e.  RR )
9 0lt1 7912 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  <  1 )
11 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
1  <  A )
127, 8, 6, 10, 11lttrd 7911 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  <  A )
136, 12elrpd 9509 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR+ )
14 simprl 521 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
15 rpcxpcl 13030 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR+ )
1613, 14, 15syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  ^c  B )  e.  RR+ )
1716rpred 9512 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  ^c  B )  e.  RR )
18 simprr 522 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR )
19 rpcxpcl 13030 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  ^c  C )  e.  RR+ )
2013, 18, 19syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  ^c  C )  e.  RR+ )
2120rpred 9512 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  ^c  C )  e.  RR )
2217, 21lenltd 7903 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( ( A  ^c  B )  <_  ( A  ^c  C )  <->  -.  ( A  ^c  C )  <  ( A  ^c  B ) ) )
233, 5, 223bitr4d 219 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B  <_  C  <->  ( A  ^c  B )  <_  ( A  ^c  C )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642   0cc0 7643   1c1 7644    < clt 7823    <_ cle 7824   RR+crp 9469    ^c ccxp 12984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763  ax-pre-suploc 7764  ax-addf 7765  ax-mulf 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-disj 3914  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-of 5989  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-map 6551  df-pm 6552  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-ioo 9704  df-ico 9706  df-icc 9707  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-fac 10503  df-bc 10525  df-ihash 10553  df-shft 10618  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154  df-ef 11389  df-e 11390  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-ntr 12302  df-cn 12394  df-cnp 12395  df-tx 12459  df-cncf 12764  df-limced 12831  df-dvap 12832  df-relog 12985  df-rpcxp 12986
This theorem is referenced by:  cxpled  13055
  Copyright terms: Public domain W3C validator