ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcanlem Unicode version

Theorem expcanlem 10178
Description: Lemma for expcan 10179. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcanlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
expcanlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
expcanlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
expcanlem.gt1  |-  ( ph  ->  1  <  A )
Assertion
Ref Expression
expcanlem  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  <_  ( A ^ N )  ->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem expcanlem
StepHypRef Expression
1 expcanlem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 expcanlem.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3 expcanlem.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 expcanlem.gt1 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  <  A )
5 ltexp2a 10061 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  A  /\  N  <  M ) )  ->  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) )
65expr 368 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( N  < 
M  ->  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
71, 2, 3, 4, 6syl31anc 1178 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  ->  ( A ^ N
)  <  ( A ^ M ) ) )
87con3d 597 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A ^ N )  < 
( A ^ M
)  ->  -.  N  <  M ) )
9 0red 7543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10 1red 7557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
11 0lt1 7664 . . . . . . 7  |-  0  <  1
1211a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
139, 10, 1, 12, 4lttrd 7663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  A )
141, 13gt0ap0d 8159 . . . 4  |-  ( ph  ->  A #  0 )
151, 14, 3reexpclzapd 10165 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  RR )
161, 14, 2reexpclzapd 10165 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
1715, 16lenltd 7655 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  <_  ( A ^ N )  <->  -.  ( A ^ N )  < 
( A ^ M
) ) )
183zred 8922 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
192zred 8922 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2018, 19lenltd 7655 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
218, 17, 203imtr4d 202 1  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  <_  ( A ^ N )  ->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 925    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7403   0cc0 7404   1c1 7405    < clt 7576    <_ cle 7577   ZZcz 8804   ^cexp 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009
This theorem is referenced by:  expcan  10179
  Copyright terms: Public domain W3C validator