Theorem expcanlem 10932

Description: Lemma for expcan 10933. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	|- ( ph -> A e. RR )
expcanlem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
expcanlem.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
expcanlem.gt1	|- ( ph -> 1 < A )

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	|- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2		expcanlem.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		expcanlem.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		expcanlem.gt1	. . . 4 |- ( ph -> 1 < A )
5		ltexp2a 10808	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ N < M ) ) -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) )
6	5	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
8	7	con3d 634	. 2 |- ( ph -> ( -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) -> -. N < M ) )
9		0red 8143	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		1red 8157	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
11		0lt1 8269	. . . . . . 7 |- 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < 1 )
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8268	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < A )
14	1, 13	gt0ap0d 8772	. . . 4 |- ( ph -> A # 0 )
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10915	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10915	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR )
17	15, 16	lenltd 8260	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) <-> -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
18	3	zred 9565	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
19	2	zred 9565	. . 3 |- ( ph -> N e. RR )
20	18, 19	lenltd 8260	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
21	8, 17, 20	3imtr4d 203	1 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   < clt 8177   <_ cle 8178   ZZcz 9442   ^cexp 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by:  expcan  10933