Theorem expcanlem 10807

Description: Lemma for expcan 10808. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	|- ( ph -> A e. RR )
expcanlem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
expcanlem.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
expcanlem.gt1	|- ( ph -> 1 < A )

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	|- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2		expcanlem.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		expcanlem.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		expcanlem.gt1	. . . 4 |- ( ph -> 1 < A )
5		ltexp2a 10683	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ N < M ) ) -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) )
6	5	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1252	. . 3 |- ( ph -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
8	7	con3d 632	. 2 |- ( ph -> ( -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) -> -. N < M ) )
9		0red 8027	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		1red 8041	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
11		0lt1 8153	. . . . . . 7 |- 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < 1 )
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8152	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < A )
14	1, 13	gt0ap0d 8656	. . . 4 |- ( ph -> A # 0 )
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10790	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10790	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR )
17	15, 16	lenltd 8144	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) <-> -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
18	3	zred 9448	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
19	2	zred 9448	. . 3 |- ( ph -> N e. RR )
20	18, 19	lenltd 8144	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
21	8, 17, 20	3imtr4d 203	1 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   < clt 8061   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ^cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  expcan  10808