Theorem expcanlem 10649

Description: Lemma for expcan 10650. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	|- ( ph -> A e. RR )
expcanlem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
expcanlem.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
expcanlem.gt1	|- ( ph -> 1 < A )

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	|- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2		expcanlem.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		expcanlem.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		expcanlem.gt1	. . . 4 |- ( ph -> 1 < A )
5		ltexp2a 10528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ N < M ) ) -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) )
6	5	expr 373	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1236	. . 3 |- ( ph -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
8	7	con3d 626	. 2 |- ( ph -> ( -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) -> -. N < M ) )
9		0red 7921	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		1red 7935	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
11		0lt1 8046	. . . . . . 7 |- 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < 1 )
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8045	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < A )
14	1, 13	gt0ap0d 8548	. . . 4 |- ( ph -> A # 0 )
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10634	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10634	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR )
17	15, 16	lenltd 8037	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) <-> -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
18	3	zred 9334	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
19	2	zred 9334	. . 3 |- ( ph -> N e. RR )
20	18, 19	lenltd 8037	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
21	8, 17, 20	3imtr4d 202	1 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ^cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  expcan  10650