Theorem expcanlem 10976

Description: Lemma for expcan 10977. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	|- ( ph -> A e. RR )
expcanlem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
expcanlem.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
expcanlem.gt1	|- ( ph -> 1 < A )

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	|- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2		expcanlem.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		expcanlem.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		expcanlem.gt1	. . . 4 |- ( ph -> 1 < A )
5		ltexp2a 10852	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ N < M ) ) -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) )
6	5	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1276	. . 3 |- ( ph -> ( N < M -> ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
8	7	con3d 636	. 2 |- ( ph -> ( -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) -> -. N < M ) )
9		0red 8179	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		1red 8193	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
11		0lt1 8305	. . . . . . 7 |- 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < 1 )
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 8304	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < A )
14	1, 13	gt0ap0d 8808	. . . 4 |- ( ph -> A # 0 )
15	1, 14, 3	reexpclzapd 10959	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
16	1, 14, 2	reexpclzapd 10959	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. RR )
17	15, 16	lenltd 8296	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) <-> -. ( A ^ N ) < ( A ^ M ) ) )
18	3	zred 9601	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
19	2	zred 9601	. . 3 |- ( ph -> N e. RR )
20	18, 19	lenltd 8296	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
21	8, 17, 20	3imtr4d 203	1 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  expcan  10977