ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version

Theorem absle 10583
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21renegcld 7919 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  e.  RR )
31recnd 7577 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 10545 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 simplr 498 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  B  e.  RR )
7 leabs 10568 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u A  <_  ( abs `  -u A
) )
82, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  -u A ) )
9 absneg 10544 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
118, 10breqtrd 3875 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  A ) )
12 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 7668 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  B
)
14 leabs 10568 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
1514ad2antrr 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 7668 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  B )
1713, 16jca 301 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B
) )
18 simpll 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simplr 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
2018recnd 7577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
22 axltwlin 7615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  ( abs `  A
)  ->  ( B  <  A  \/  A  < 
( abs `  A
) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A ) ) ) )
24 simprr 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  <_  B )
2518, 19lenltd 7662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2624, 25mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  A )
27 pm2.53 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( -.  B  <  A  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
29 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  RR )
3029recnd 7577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
3229renegcld 7919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  -u A  e.  RR )
33 0red 7550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  RR )
34 ltabs 10581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <  0 )
3529, 33, 34ltled 7663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <_  0 )
3629le0neg1d 8056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3735, 36mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <_ 
-u A )
38 absid 10565 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  ->  ( abs `  -u A
)  =  -u A
)
3932, 37, 38syl2anc 404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  = 
-u A )
4031, 39eqtr3d 2123 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  A )  = 
-u A )
4118, 28, 40syl6an 1369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
) )
42 simprl 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -u A  <_  B )
43 breq1 3854 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  -u A  <_  B ) )
4442, 43syl5ibrcom 156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  =  -u A  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
)
4541, 44syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
)
4621, 19lenltd 7662 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  <_  B  <->  -.  B  <  ( abs `  A
) ) )
4745, 46sylibd 148 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) ) )
4847pm2.01d 584 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) )
4948, 46mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
5017, 49impbida 564 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
51 lenegcon1 8005 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
5251anbi1d 454 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
5350, 52bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 665    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028   CCcc 7409   RRcr 7410   0cc0 7411    < clt 7583    <_ cle 7584   -ucneg 7715   abscabs 10491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493
This theorem is referenced by:  absdifle  10587  lenegsq  10589  abs2difabs  10602  abslei  10633  absled  10669  dfabsmax  10711
  Copyright terms: Public domain W3C validator