ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version
Theorem absle 11616
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. RR )
21renegcld 8537 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A e. RR )
31recnd 8186 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. CC )
4 abscl 11578 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
53, 4syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) e. RR )
6 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> B e. RR )
7 leabs 11601 . . . . . . 7 |- ( -u A e. RR -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
82, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
9 absneg 11577 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
103, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
118, 10breqtrd 4109 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` A ) )
12 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) <_ B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 8281 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ B )
14 leabs 11601 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
1514ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ ( abs ` A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 8281 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ B )
1713, 16jca 306 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) )
18 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
19 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
2018recnd 8186 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
22 axltwlin 8225 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
24 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
2518, 19lenltd 8275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
2624, 25mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < A )
27 pm2.53 727 . . . . . . . . 9 |- ( ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) -> ( -. B < A -> A < ( abs ` A ) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> A < ( abs ` A ) ) )
29 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. RR )
3029recnd 8186 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
3229renegcld 8537 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> -u A e. RR )
33 0red 8158 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 e. RR )
34 ltabs 11614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A < 0 )
3529, 33, 34ltled 8276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A <_ 0 )
3629le0neg1d 8675 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
3735, 36mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 <_ -u A )
38 absid 11598 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
3932, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
4031, 39eqtr3d 2264 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` A ) = -u A )
4118, 28, 40syl6an 1476 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) = -u A ) )
42 simprl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -u A <_ B )
43 breq1 4086 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) = -u A -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -u A <_ B ) )
4442, 43syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) = -u A -> ( abs ` A ) <_ B ) )
4541, 44syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) <_ B ) )
4621, 19lenltd 8275 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -. B < ( abs ` A ) ) )
4745, 46sylibd 149 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> -. B < ( abs ` A ) ) )
4847pm2.01d 621 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < ( abs ` A ) )
4948, 46mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) <_ B )
5017, 49impbida 598 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) )
51 lenegcon1 8624 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )
5251anbi1d 465 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
5350, 52bitrd 188 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   < clt 8192   <_ cle 8193   -ucneg 8329   abscabs 11524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526
This theorem is referenced by:  absdifle  11620  lenegsq  11622  abs2difabs  11635  abslei  11666  absled  11702  dfabsmax  11744  rpabscxpbnd  15630  lgseisen  15769
  Copyright terms: Public domain W3C validator