ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version

Theorem absle 10487
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21renegcld 7837 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  e.  RR )
31recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 10449 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  B  e.  RR )
7 leabs 10472 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u A  <_  ( abs `  -u A
) )
82, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  -u A ) )
9 absneg 10448 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
118, 10breqtrd 3861 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  A ) )
12 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 7586 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  B
)
14 leabs 10472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
1514ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 7586 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  B )
1713, 16jca 300 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B
) )
18 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
2018recnd 7495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
22 axltwlin 7533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  ( abs `  A
)  ->  ( B  <  A  \/  A  < 
( abs `  A
) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A ) ) ) )
24 simprr 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  <_  B )
2518, 19lenltd 7580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2624, 25mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  A )
27 pm2.53 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( -.  B  <  A  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
29 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  RR )
3029recnd 7495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
3229renegcld 7837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  -u A  e.  RR )
33 0red 7468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  RR )
34 ltabs 10485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <  0 )
3529, 33, 34ltled 7581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <_  0 )
3629le0neg1d 7971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3735, 36mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <_ 
-u A )
38 absid 10469 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  ->  ( abs `  -u A
)  =  -u A
)
3932, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  = 
-u A )
4031, 39eqtr3d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  A )  = 
-u A )
4118, 28, 40syl6an 1368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
) )
42 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -u A  <_  B )
43 breq1 3840 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  -u A  <_  B ) )
4442, 43syl5ibrcom 155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  =  -u A  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
)
4541, 44syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
)
4621, 19lenltd 7580 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  <_  B  <->  -.  B  <  ( abs `  A
) ) )
4745, 46sylibd 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) ) )
4847pm2.01d 583 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) )
4948, 46mpbird 165 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
5017, 49impbida 563 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
51 lenegcon1 7923 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
5251anbi1d 453 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
5350, 52bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329    < clt 7501    <_ cle 7502   -ucneg 7633   abscabs 10395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397
This theorem is referenced by:  absdifle  10491  lenegsq  10493  abs2difabs  10506  abslei  10537  absled  10573  dfabsmax  10615
  Copyright terms: Public domain W3C validator