ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version
Theorem absle 11433
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. RR )
21renegcld 8454 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A e. RR )
31recnd 8103 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. CC )
4 abscl 11395 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
53, 4syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) e. RR )
6 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> B e. RR )
7 leabs 11418 . . . . . . 7 |- ( -u A e. RR -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
82, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
9 absneg 11394 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
103, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
118, 10breqtrd 4071 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` A ) )
12 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) <_ B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 8198 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ B )
14 leabs 11418 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
1514ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ ( abs ` A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 8198 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ B )
1713, 16jca 306 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) )
18 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
19 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
2018recnd 8103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
22 axltwlin 8142 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
24 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
2518, 19lenltd 8192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
2624, 25mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < A )
27 pm2.53 724 . . . . . . . . 9 |- ( ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) -> ( -. B < A -> A < ( abs ` A ) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> A < ( abs ` A ) ) )
29 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. RR )
3029recnd 8103 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
3229renegcld 8454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> -u A e. RR )
33 0red 8075 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 e. RR )
34 ltabs 11431 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A < 0 )
3529, 33, 34ltled 8193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A <_ 0 )
3629le0neg1d 8592 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
3735, 36mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 <_ -u A )
38 absid 11415 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
3932, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
4031, 39eqtr3d 2240 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` A ) = -u A )
4118, 28, 40syl6an 1454 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) = -u A ) )
42 simprl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -u A <_ B )
43 breq1 4048 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) = -u A -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -u A <_ B ) )
4442, 43syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) = -u A -> ( abs ` A ) <_ B ) )
4541, 44syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) <_ B ) )
4621, 19lenltd 8192 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -. B < ( abs ` A ) ) )
4745, 46sylibd 149 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> -. B < ( abs ` A ) ) )
4847pm2.01d 619 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < ( abs ` A ) )
4948, 46mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) <_ B )
5017, 49impbida 596 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) )
51 lenegcon1 8541 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )
5251anbi1d 465 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
5350, 52bitrd 188 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   <_ cle 8110   -ucneg 8246   abscabs 11341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343
This theorem is referenced by:  absdifle  11437  lenegsq  11439  abs2difabs  11452  abslei  11483  absled  11519  dfabsmax  11561  rpabscxpbnd  15445  lgseisen  15584
  Copyright terms: Public domain W3C validator