ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version

Theorem absle 11130
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21renegcld 8367 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  e.  RR )
31recnd 8016 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 11092 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  B  e.  RR )
7 leabs 11115 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u A  <_  ( abs `  -u A
) )
82, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  -u A ) )
9 absneg 11091 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
118, 10breqtrd 4044 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  A ) )
12 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 8111 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  B
)
14 leabs 11115 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
1514ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 8111 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  B )
1713, 16jca 306 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B
) )
18 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
2018recnd 8016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
22 axltwlin 8055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  ( abs `  A
)  ->  ( B  <  A  \/  A  < 
( abs `  A
) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A ) ) ) )
24 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  <_  B )
2518, 19lenltd 8105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2624, 25mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  A )
27 pm2.53 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( -.  B  <  A  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
29 simpl 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  RR )
3029recnd 8016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
3229renegcld 8367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  -u A  e.  RR )
33 0red 7988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  RR )
34 ltabs 11128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <  0 )
3529, 33, 34ltled 8106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <_  0 )
3629le0neg1d 8504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3735, 36mpbid 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <_ 
-u A )
38 absid 11112 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  ->  ( abs `  -u A
)  =  -u A
)
3932, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  = 
-u A )
4031, 39eqtr3d 2224 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  A )  = 
-u A )
4118, 28, 40syl6an 1445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
) )
42 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -u A  <_  B )
43 breq1 4021 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  -u A  <_  B ) )
4442, 43syl5ibrcom 157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  =  -u A  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
)
4541, 44syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
)
4621, 19lenltd 8105 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  <_  B  <->  -.  B  <  ( abs `  A
) ) )
4745, 46sylibd 149 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) ) )
4847pm2.01d 619 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) )
4948, 46mpbird 167 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
5017, 49impbida 596 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
51 lenegcon1 8453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
5251anbi1d 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
5350, 52bitrd 188 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841    < clt 8022    <_ cle 8023   -ucneg 8159   abscabs 11038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040
This theorem is referenced by:  absdifle  11134  lenegsq  11136  abs2difabs  11149  abslei  11180  absled  11216  dfabsmax  11258  rpabscxpbnd  14816
  Copyright terms: Public domain W3C validator