ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version
Theorem absle 10893
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. RR )
21renegcld 8166 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A e. RR )
31recnd 7818 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. CC )
4 abscl 10855 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
53, 4syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) e. RR )
6 simplr 520 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> B e. RR )
7 leabs 10878 . . . . . . 7 |- ( -u A e. RR -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
82, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
9 absneg 10854 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
103, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
118, 10breqtrd 3962 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` A ) )
12 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) <_ B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 7910 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ B )
14 leabs 10878 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
1514ad2antrr 480 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ ( abs ` A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 7910 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ B )
1713, 16jca 304 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) )
18 simpll 519 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
19 simplr 520 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
2018recnd 7818 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
22 axltwlin 7856 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
24 simprr 522 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
2518, 19lenltd 7904 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
2624, 25mpbid 146 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < A )
27 pm2.53 712 . . . . . . . . 9 |- ( ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) -> ( -. B < A -> A < ( abs ` A ) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1422 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> A < ( abs ` A ) ) )
29 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. RR )
3029recnd 7818 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
3229renegcld 8166 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> -u A e. RR )
33 0red 7791 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 e. RR )
34 ltabs 10891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A < 0 )
3529, 33, 34ltled 7905 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A <_ 0 )
3629le0neg1d 8303 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
3735, 36mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 <_ -u A )
38 absid 10875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
3932, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
4031, 39eqtr3d 2175 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` A ) = -u A )
4118, 28, 40syl6an 1411 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) = -u A ) )
42 simprl 521 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -u A <_ B )
43 breq1 3940 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) = -u A -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -u A <_ B ) )
4442, 43syl5ibrcom 156 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) = -u A -> ( abs ` A ) <_ B ) )
4541, 44syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) <_ B ) )
4621, 19lenltd 7904 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -. B < ( abs ` A ) ) )
4745, 46sylibd 148 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> -. B < ( abs ` A ) ) )
4847pm2.01d 608 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < ( abs ` A ) )
4948, 46mpbird 166 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) <_ B )
5017, 49impbida 586 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) )
51 lenegcon1 8252 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )
5251anbi1d 461 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
5350, 52bitrd 187 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   < clt 7824   <_ cle 7825   -ucneg 7958   abscabs 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803
This theorem is referenced by:  absdifle  10897  lenegsq  10899  abs2difabs  10912  abslei  10943  absled  10979  dfabsmax  11021  rpabscxpbnd  13067
  Copyright terms: Public domain W3C validator