Theorem absle 11236

Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )

Proof of Theorem absle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. RR )
2	1	renegcld 8401	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A e. RR )
3	1	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A e. CC )
4		abscl 11198	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) e. RR )
6		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> B e. RR )
7		leabs 11221	. . . . . . 7 |- ( -u A e. RR -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` -u A ) )
9		absneg 11197	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
11	8, 10	breqtrd 4056	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ ( abs ` A ) )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( abs ` A ) <_ B )
13	2, 5, 6, 11, 12	letrd 8145	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> -u A <_ B )
14		leabs 11221	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ ( abs ` A ) )
16	1, 5, 6, 15, 12	letrd 8145	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> A <_ B )
17	13, 16	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( abs ` A ) <_ B ) -> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) )
18		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
19		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
20	18	recnd 8050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A e. CC )
21	20, 4	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
22		axltwlin 8089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
23	19, 21, 18, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) ) )
24		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
25	18, 19	lenltd 8139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
26	24, 25	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < A )
27		pm2.53 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( B < A \/ A < ( abs ` A ) ) -> ( -. B < A -> A < ( abs ` A ) ) )
28	23, 26, 27	syl6ci 1456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> A < ( abs ` A ) ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. RR )
30	29	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A e. CC )
31	30, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
32	29	renegcld 8401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> -u A e. RR )
33		0red 8022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 e. RR )
34		ltabs 11234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A < 0 )
35	29, 33, 34	ltled 8140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> A <_ 0 )
36	29	le0neg1d 8538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
37	35, 36	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> 0 <_ -u A )
38		absid 11218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
39	32, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` -u A ) = -u A )
40	31, 39	eqtr3d 2228	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < ( abs ` A ) ) -> ( abs ` A ) = -u A )
41	18, 28, 40	syl6an 1445	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) = -u A ) )
42		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -u A <_ B )
43		breq1 4033	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) = -u A -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -u A <_ B ) )
44	42, 43	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) = -u A -> ( abs ` A ) <_ B ) )
45	41, 44	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> ( abs ` A ) <_ B ) )
46	21, 19	lenltd 8139	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> -. B < ( abs ` A ) ) )
47	45, 46	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( B < ( abs ` A ) -> -. B < ( abs ` A ) ) )
48	47	pm2.01d 619	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> -. B < ( abs ` A ) )
49	48, 46	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) -> ( abs ` A ) <_ B )
50	17, 49	impbida 596	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u A <_ B /\ A <_ B ) ) )
51		lenegcon1 8487	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )
52	51	anbi1d 465	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
53	50, 52	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   < clt 8056   <_ cle 8057   -ucneg 8193   abscabs 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146

This theorem is referenced by:  absdifle  11240  lenegsq  11242  abs2difabs  11255  abslei  11286  absled  11322  dfabsmax  11364  rpabscxpbnd  15114  lgseisen  15231