Theorem lidlacl 13768

Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlacl	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlacl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		rlmplusgg 13740	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
3	1, 2	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → + = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
4	3	oveqd 5909	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌))
5	4	ad2antrr 488	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌))
6		rlmlmod 13748	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
9		lidlcl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10		lidlvalg 13755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13	8, 12	eleqtrd 2268	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
14	7, 13	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
15		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
16		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
17	15, 16	lssvacl 13649	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
18	14, 17	sylan 283	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
19	5, 18	eqeltrd 2266	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  +_gcplusg 12562  Ringcrg 13318  LModclmod 13571  LSubSpclss 13636  ringLModcrglmod 13718  LIdealclidl 13751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-ltxr 8017  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-7 9003  df-8 9004  df-ndx 12490  df-slot 12491  df-base 12493  df-sets 12494  df-iress 12495  df-plusg 12575  df-mulr 12576  df-sca 12578  df-vsca 12579  df-ip 12580  df-0g 12736  df-mgm 12805  df-sgrp 12838  df-mnd 12851  df-grp 12921  df-minusg 12922  df-subg 13082  df-mgp 13243  df-ur 13282  df-ring 13320  df-subrg 13534  df-lmod 13573  df-lssm 13637  df-sra 13719  df-rgmod 13720  df-lidl 13753

This theorem is referenced by:  lidlsubg  13770