Theorem ltadd1sr 7891

Description: Adding one to a signed real yields a larger signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1sr	⊢ (𝐴 ∈ R → 𝐴 <R (𝐴 +R 1R))

Proof of Theorem ltadd1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0idsr 7882	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
2		0lt1sr 7880	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
3		0r 7865	. . . 4 ⊢ 0R ∈ R
4		1sr 7866	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
5		ltasrg 7885	. . . 4 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 1R ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 1R)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1340	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 1R ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 1R)))
7	2, 6	mpbii 148	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 1R))
8	1, 7	eqbrtrrd 4069	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → 𝐴 <R (𝐴 +R 1R))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946  Rcnr 7412  0_Rc0r 7413  1_Rc1r 7414   +_R cplr 7416   <_R cltr 7418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468  df-enq0 7539  df-nq0 7540  df-0nq0 7541  df-plq0 7542  df-mq0 7543  df-inp 7581  df-i1p 7582  df-iplp 7583  df-iltp 7585  df-enr 7841  df-nr 7842  df-plr 7843  df-ltr 7845  df-0r 7846  df-1r 7847

This theorem is referenced by:  ltm1sr  7892  caucvgsr  7917