Theorem ltadd1sr 7472

Description: Adding one to a signed real yields a larger signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1sr	⊢ (𝐴 ∈ R → 𝐴 <R (𝐴 +R 1R))

Proof of Theorem ltadd1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0idsr 7463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
2		0lt1sr 7461	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
3		0r 7446	. . . 4 ⊢ 0R ∈ R
4		1sr 7447	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
5		ltasrg 7466	. . . 4 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 1R ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 1R)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 1R ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 1R)))
7	2, 6	mpbii 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 1R))
8	1, 7	eqbrtrrd 3897	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → 𝐴 <R (𝐴 +R 1R))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  Rcnr 7006  0_Rc0r 7007  1_Rc1r 7008   +_R cplr 7010   <_R cltr 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-2o 6244  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062  df-enq0 7133  df-nq0 7134  df-0nq0 7135  df-plq0 7136  df-mq0 7137  df-inp 7175  df-i1p 7176  df-iplp 7177  df-iltp 7179  df-enr 7422  df-nr 7423  df-plr 7424  df-ltr 7426  df-0r 7427  df-1r 7428

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7497