Theorem lttri 8437

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8405	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1378	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  1lt3  9487  2lt4  9489  1lt4  9490  3lt5  9492  2lt5  9493  1lt5  9494  4lt6  9496  3lt6  9497  2lt6  9498  1lt6  9499  5lt7  9501  4lt7  9502  3lt7  9503  2lt7  9504  1lt7  9505  6lt8  9507  5lt8  9508  4lt8  9509  3lt8  9510  2lt8  9511  1lt8  9512  7lt9  9514  6lt9  9515  5lt9  9516  4lt9  9517  3lt9  9518  2lt9  9519  1lt9  9520  8lt10  9924  7lt10  9925  6lt10  9926  5lt10  9927  4lt10  9928  3lt10  9929  2lt10  9930  1lt10  9931  sincos2sgn  12558  cos12dec  12560  epos  12573  ene1  12577  eap1  12578  reeff1o  15999  pipos  16015  pigt3  16071  bposlem8  16318  bposlem9  16319  apdiff  17304