Theorem lttri 8247

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8216	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1371	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   RRcr 7994   < clt 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-lttrn 8109

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182

This theorem is referenced by:  1lt3  9278  2lt4  9280  1lt4  9281  3lt5  9283  2lt5  9284  1lt5  9285  4lt6  9287  3lt6  9288  2lt6  9289  1lt6  9290  5lt7  9292  4lt7  9293  3lt7  9294  2lt7  9295  1lt7  9296  6lt8  9298  5lt8  9299  4lt8  9300  3lt8  9301  2lt8  9302  1lt8  9303  7lt9  9305  6lt9  9306  5lt9  9307  4lt9  9308  3lt9  9309  2lt9  9310  1lt9  9311  8lt10  9705  7lt10  9706  6lt10  9707  5lt10  9708  4lt10  9709  3lt10  9710  2lt10  9711  1lt10  9712  sincos2sgn  12272  cos12dec  12274  epos  12287  ene1  12291  eap1  12292  reeff1o  15441  pipos  15456  pigt3  15512  apdiff  16375