Theorem lttri 8431

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8399	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1378	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  1lt3  9480  2lt4  9482  1lt4  9483  3lt5  9485  2lt5  9486  1lt5  9487  4lt6  9489  3lt6  9490  2lt6  9491  1lt6  9492  5lt7  9494  4lt7  9495  3lt7  9496  2lt7  9497  1lt7  9498  6lt8  9500  5lt8  9501  4lt8  9502  3lt8  9503  2lt8  9504  1lt8  9505  7lt9  9507  6lt9  9508  5lt9  9509  4lt9  9510  3lt9  9511  2lt9  9512  1lt9  9513  8lt10  9917  7lt10  9918  6lt10  9919  5lt10  9920  4lt10  9921  3lt10  9922  2lt10  9923  1lt10  9924  sincos2sgn  12549  cos12dec  12551  epos  12564  ene1  12568  eap1  12569  reeff1o  15923  pipos  15939  pigt3  15995  apdiff  17195