ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8049
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 8018 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1337 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   RRcr 7798    < clt 7979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-pre-lttrn 7913
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-ltxr 7984
This theorem is referenced by:  1lt3  9076  2lt4  9078  1lt4  9079  3lt5  9081  2lt5  9082  1lt5  9083  4lt6  9085  3lt6  9086  2lt6  9087  1lt6  9088  5lt7  9090  4lt7  9091  3lt7  9092  2lt7  9093  1lt7  9094  6lt8  9096  5lt8  9097  4lt8  9098  3lt8  9099  2lt8  9100  1lt8  9101  7lt9  9103  6lt9  9104  5lt9  9105  4lt9  9106  3lt9  9107  2lt9  9108  1lt9  9109  8lt10  9501  7lt10  9502  6lt10  9503  5lt10  9504  4lt10  9505  3lt10  9506  2lt10  9507  1lt10  9508  sincos2sgn  11754  cos12dec  11756  epos  11769  ene1  11773  eap1  11774  reeff1o  13858  pipos  13873  pigt3  13929  apdiff  14449
  Copyright terms: Public domain W3C validator