Theorem lttri 8212

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8181	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1350	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147

This theorem is referenced by:  1lt3  9243  2lt4  9245  1lt4  9246  3lt5  9248  2lt5  9249  1lt5  9250  4lt6  9252  3lt6  9253  2lt6  9254  1lt6  9255  5lt7  9257  4lt7  9258  3lt7  9259  2lt7  9260  1lt7  9261  6lt8  9263  5lt8  9264  4lt8  9265  3lt8  9266  2lt8  9267  1lt8  9268  7lt9  9270  6lt9  9271  5lt9  9272  4lt9  9273  3lt9  9274  2lt9  9275  1lt9  9276  8lt10  9670  7lt10  9671  6lt10  9672  5lt10  9673  4lt10  9674  3lt10  9675  2lt10  9676  1lt10  9677  sincos2sgn  12192  cos12dec  12194  epos  12207  ene1  12211  eap1  12212  reeff1o  15360  pipos  15375  pigt3  15431  apdiff  16189