Theorem lttri 8420

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8389	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1378	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-lttrn 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  1lt3  9455  2lt4  9457  1lt4  9458  3lt5  9460  2lt5  9461  1lt5  9462  4lt6  9464  3lt6  9465  2lt6  9466  1lt6  9467  5lt7  9469  4lt7  9470  3lt7  9471  2lt7  9472  1lt7  9473  6lt8  9475  5lt8  9476  4lt8  9477  3lt8  9478  2lt8  9479  1lt8  9480  7lt9  9482  6lt9  9483  5lt9  9484  4lt9  9485  3lt9  9486  2lt9  9487  1lt9  9488  8lt10  9887  7lt10  9888  6lt10  9889  5lt10  9890  4lt10  9891  3lt10  9892  2lt10  9893  1lt10  9894  sincos2sgn  12511  cos12dec  12513  epos  12526  ene1  12530  eap1  12531  reeff1o  15797  pipos  15812  pigt3  15868  apdiff  17002