Theorem lttri 8176

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8145	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1349	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   RRcr 7923   < clt 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-lttrn 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111

This theorem is referenced by:  1lt3  9207  2lt4  9209  1lt4  9210  3lt5  9212  2lt5  9213  1lt5  9214  4lt6  9216  3lt6  9217  2lt6  9218  1lt6  9219  5lt7  9221  4lt7  9222  3lt7  9223  2lt7  9224  1lt7  9225  6lt8  9227  5lt8  9228  4lt8  9229  3lt8  9230  2lt8  9231  1lt8  9232  7lt9  9234  6lt9  9235  5lt9  9236  4lt9  9237  3lt9  9238  2lt9  9239  1lt9  9240  8lt10  9634  7lt10  9635  6lt10  9636  5lt10  9637  4lt10  9638  3lt10  9639  2lt10  9640  1lt10  9641  sincos2sgn  12048  cos12dec  12050  epos  12063  ene1  12067  eap1  12068  reeff1o  15216  pipos  15231  pigt3  15287  apdiff  15949