ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 7891
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 7861 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1316 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1481   class class class wbr 3936   RRcr 7642    < clt 7823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-lttrn 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-ltxr 7828
This theorem is referenced by:  1lt3  8914  2lt4  8916  1lt4  8917  3lt5  8919  2lt5  8920  1lt5  8921  4lt6  8923  3lt6  8924  2lt6  8925  1lt6  8926  5lt7  8928  4lt7  8929  3lt7  8930  2lt7  8931  1lt7  8932  6lt8  8934  5lt8  8935  4lt8  8936  3lt8  8937  2lt8  8938  1lt8  8939  7lt9  8941  6lt9  8942  5lt9  8943  4lt9  8944  3lt9  8945  2lt9  8946  1lt9  8947  8lt10  9336  7lt10  9337  6lt10  9338  5lt10  9339  4lt10  9340  3lt10  9341  2lt10  9342  1lt10  9343  sincos2sgn  11506  cos12dec  11508  epos  11521  ene1  11525  eap1  11526  reeff1o  12900  pipos  12915  pigt3  12971  apdiff  13414
  Copyright terms: Public domain W3C validator