Theorem lttri 8274

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8243	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1371	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8021   < clt 8204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-lttrn 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209

This theorem is referenced by:  1lt3  9305  2lt4  9307  1lt4  9308  3lt5  9310  2lt5  9311  1lt5  9312  4lt6  9314  3lt6  9315  2lt6  9316  1lt6  9317  5lt7  9319  4lt7  9320  3lt7  9321  2lt7  9322  1lt7  9323  6lt8  9325  5lt8  9326  4lt8  9327  3lt8  9328  2lt8  9329  1lt8  9330  7lt9  9332  6lt9  9333  5lt9  9334  4lt9  9335  3lt9  9336  2lt9  9337  1lt9  9338  8lt10  9732  7lt10  9733  6lt10  9734  5lt10  9735  4lt10  9736  3lt10  9737  2lt10  9738  1lt10  9739  sincos2sgn  12317  cos12dec  12319  epos  12332  ene1  12336  eap1  12337  reeff1o  15487  pipos  15502  pigt3  15558  apdiff  16588