Theorem lttri 8394

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8363	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1374	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  1lt3  9426  2lt4  9428  1lt4  9429  3lt5  9431  2lt5  9432  1lt5  9433  4lt6  9435  3lt6  9436  2lt6  9437  1lt6  9438  5lt7  9440  4lt7  9441  3lt7  9442  2lt7  9443  1lt7  9444  6lt8  9446  5lt8  9447  4lt8  9448  3lt8  9449  2lt8  9450  1lt8  9451  7lt9  9453  6lt9  9454  5lt9  9455  4lt9  9456  3lt9  9457  2lt9  9458  1lt9  9459  8lt10  9858  7lt10  9859  6lt10  9860  5lt10  9861  4lt10  9862  3lt10  9863  2lt10  9864  1lt10  9865  sincos2sgn  12477  cos12dec  12479  epos  12492  ene1  12496  eap1  12497  reeff1o  15764  pipos  15779  pigt3  15835  apdiff  16958