Theorem lttri 8148

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 8117	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1348	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7895   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-lttrn 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083

This theorem is referenced by:  1lt3  9179  2lt4  9181  1lt4  9182  3lt5  9184  2lt5  9185  1lt5  9186  4lt6  9188  3lt6  9189  2lt6  9190  1lt6  9191  5lt7  9193  4lt7  9194  3lt7  9195  2lt7  9196  1lt7  9197  6lt8  9199  5lt8  9200  4lt8  9201  3lt8  9202  2lt8  9203  1lt8  9204  7lt9  9206  6lt9  9207  5lt9  9208  4lt9  9209  3lt9  9210  2lt9  9211  1lt9  9212  8lt10  9605  7lt10  9606  6lt10  9607  5lt10  9608  4lt10  9609  3lt10  9610  2lt10  9611  1lt10  9612  sincos2sgn  11948  cos12dec  11950  epos  11963  ene1  11967  eap1  11968  reeff1o  15093  pipos  15108  pigt3  15164  apdiff  15779