ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri GIF version

Theorem lttri 7875
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lttri ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 lttr 7845 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
51, 2, 3, 4mp3an 1315 1 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480   class class class wbr 3929  cr 7626   < clt 7807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-lttrn 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812
This theorem is referenced by:  1lt3  8898  2lt4  8900  1lt4  8901  3lt5  8903  2lt5  8904  1lt5  8905  4lt6  8907  3lt6  8908  2lt6  8909  1lt6  8910  5lt7  8912  4lt7  8913  3lt7  8914  2lt7  8915  1lt7  8916  6lt8  8918  5lt8  8919  4lt8  8920  3lt8  8921  2lt8  8922  1lt8  8923  7lt9  8925  6lt9  8926  5lt9  8927  4lt9  8928  3lt9  8929  2lt9  8930  1lt9  8931  8lt10  9320  7lt10  9321  6lt10  9322  5lt10  9323  4lt10  9324  3lt10  9325  2lt10  9326  1lt10  9327  sincos2sgn  11478  cos12dec  11480  epos  11493  ene1  11497  eap1  11498  reeff1o  12871  pipos  12885  pigt3  12941  apdiff  13292
  Copyright terms: Public domain W3C validator