Theorem mgpdsg 12934

Description: Distance function of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpds.2	⊢ 𝐵 = (dist‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpdsg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (dist‘𝑀))

Proof of Theorem mgpdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpds.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (dist‘𝑅)
2		mulrslid 12542	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12455	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		dsslid 12600	. . . . 5 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
5		dsndxnplusgndx 12604	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 12525	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 12479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2175	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 12928	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5511	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2211	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑅) = (dist‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2220	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (dist‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735  ⟨cop 3592  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℕcn 8890  ndxcnx 12425   sSet csts 12426  Slot cslot 12427  +_gcplusg 12492  ._rcmulr 12493  distcds 12501  mulGrpcmgp 12925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-dec 9356  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-ds 12514  df-mgp 12926

This theorem is referenced by: (None)