ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpdsg GIF version

Theorem mgpdsg 13138
Description: Distance function of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
mgpds.2 𝐡 = (distβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpdsg (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (distβ€˜π‘€))

Proof of Theorem mgpdsg
StepHypRef Expression
1 mgpds.2 . 2 𝐡 = (distβ€˜π‘…)
2 mulrslid 12589 . . . . 5 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
32slotex 12488 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
4 dsslid 12667 . . . . 5 (dist = Slot (distβ€˜ndx) ∧ (distβ€˜ndx) ∈ β„•)
5 dsndxnplusgndx 12671 . . . . 5 (distβ€˜ndx) β‰  (+gβ€˜ndx)
6 plusgslid 12570 . . . . . 6 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
76simpri 113 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) ∈ β„•
84, 5, 7setsslnid 12513 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.rβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)))
93, 8mpdan 421 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)))
10 mgpbas.1 . . . . 5 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
11 eqid 2177 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1210, 11mgpvalg 13131 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
1312fveq2d 5519 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)))
149, 13eqtr4d 2213 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘€))
151, 14eqtrid 2222 1 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (distβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  βŸ¨cop 3595  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„•cn 8918  ndxcnx 12458   sSet csts 12459  Slot cslot 12460  +gcplusg 12535  .rcmulr 12536  distcds 12544  mulGrpcmgp 13128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-z 9253  df-dec 9384  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-sets 12468  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-ds 12557  df-mgp 13129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator