ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpdsg GIF version

Theorem mgpdsg 13093
Description: Distance function of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpds.2 𝐵 = (dist‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpdsg (𝑅𝑉𝐵 = (dist‘𝑀))

Proof of Theorem mgpdsg
StepHypRef Expression
1 mgpds.2 . 2 𝐵 = (dist‘𝑅)
2 mulrslid 12584 . . . . 5 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
32slotex 12483 . . . 4 (𝑅𝑉 → (.r𝑅) ∈ V)
4 dsslid 12662 . . . . 5 (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
5 dsndxnplusgndx 12666 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6 plusgslid 12565 . . . . . 6 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
76simpri 113 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
84, 5, 7setsslnid 12508 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (.r𝑅) ∈ V) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)))
93, 8mpdan 421 . . 3 (𝑅𝑉 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)))
10 mgpbas.1 . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11 eqid 2177 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1210, 11mgpvalg 13086 . . . 4 (𝑅𝑉𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
1312fveq2d 5519 . . 3 (𝑅𝑉 → (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)))
149, 13eqtr4d 2213 . 2 (𝑅𝑉 → (dist‘𝑅) = (dist‘𝑀))
151, 14eqtrid 2222 1 (𝑅𝑉𝐵 = (dist‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cop 3595  cfv 5216  (class class class)co 5874  cn 8917  ndxcnx 12453   sSet csts 12454  Slot cslot 12455  +gcplusg 12530  .rcmulr 12531  distcds 12539  mulGrpcmgp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-dec 9383  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-ds 12552  df-mgp 13084
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator