ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zmodcl Unicode version
Theorem zmodcl 10526
Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
zmodcl |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )
Proof of Theorem zmodcl
StepHypRef Expression
1 zq 9782 . . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
21adantr 276 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. QQ )
3 nnq 9789 . . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. QQ )
43adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. QQ )
5 nngt0 9096 . . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
65adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7 modqval 10506 . . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1250 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
9 nnz 9426 . . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
109adantl 277 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
11 znq 9780 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
1211flqcld 10457 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
1310, 12zmulcld 9536 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. ZZ )
14 zsubcl 9448 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. ZZ ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) e. ZZ )
1513, 14syldan 282 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) e. ZZ )
168, 15eqeltrd 2284 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ZZ )
17 modqge0 10514 . . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
182, 4, 6, 17syl3anc 1250 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
19 elnn0z 9420 . 2 |- ( ( A mod B ) e. NN0 <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) ) )
2016, 18, 19sylanbrc 417 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   / cdiv 8780   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   QQcq 9775   |_cfl 10448   mod cmo 10504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-q 9776  df-rp 9811  df-fl 10450  df-mod 10505
This theorem is referenced by:  zmodcld  10527  zmodfz  10528  modaddmodup  10569  modaddmodlo  10570  modfsummodlemstep  11883  divalglemnn  12344  divalgmod  12353  modgcd  12427  eucalgf  12492  eucalginv  12493  modprmn0modprm0  12694  fldivp1  12786  lgsmod  15618  lgsdir2lem4  15623  lgsdir2lem5  15624  lgsne0  15630
  Copyright terms: Public domain W3C validator