Theorem zmodcl 10489

Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zmodcl	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )

Proof of Theorem zmodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9747	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> A e. QQ )
3		nnq 9754	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. QQ )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. QQ )
5		nngt0 9061	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7		modqval 10469	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
9		nnz 9391	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
11		znq 9745	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
12	11	flqcld 10420	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) e. ZZ )
13	10, 12	zmulcld 9501	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. ZZ )
14		zsubcl 9413	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) e. ZZ ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) e. ZZ )
15	13, 14	syldan 282	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) e. ZZ )
16	8, 15	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. ZZ )
17		modqge0 10477	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
18	2, 4, 6, 17	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
19		elnn0z 9385	. 2 |- ( ( A mod B ) e. NN0 <-> ( ( A mod B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A mod B ) ) )
20	16, 18, 19	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   0cc0 7925   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   / cdiv 8745   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   QQcq 9740   |_cfl 10411   mod cmo 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468

This theorem is referenced by:  zmodcld  10490  zmodfz  10491  modaddmodup  10532  modaddmodlo  10533  modfsummodlemstep  11768  divalglemnn  12229  divalgmod  12238  modgcd  12312  eucalgf  12377  eucalginv  12378  modprmn0modprm0  12579  fldivp1  12671  lgsmod  15503  lgsdir2lem4  15508  lgsdir2lem5  15509  lgsne0  15515