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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulnqpru | Unicode version |
Description: Lemma to prove upward closure in positive real multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Dec-2019.) |
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mulnqpru |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltmnqg 6958 |
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2 | 1 | adantl 271 |
. . . . . 6
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3 | prop 7032 |
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4 | elprnqu 7039 |
. . . . . . . . 9
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5 | 3, 4 | sylan 277 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | ad2antrr 472 |
. . . . . . 7
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7 | prop 7032 |
. . . . . . . . 9
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8 | elprnqu 7039 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | sylan 277 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | ad2antlr 473 |
. . . . . . 7
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11 | mulclnq 6933 |
. . . . . . 7
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12 | 6, 10, 11 | syl2anc 403 |
. . . . . 6
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13 | simpr 108 |
. . . . . 6
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14 | recclnq 6949 |
. . . . . . 7
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15 | 10, 14 | syl 14 |
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16 | mulcomnqg 6940 |
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17 | 16 | adantl 271 |
. . . . . 6
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18 | 2, 12, 13, 15, 17 | caovord2d 5814 |
. . . . 5
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19 | mulassnqg 6941 |
. . . . . . . 8
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20 | 6, 10, 15, 19 | syl3anc 1174 |
. . . . . . 7
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21 | recidnq 6950 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | oveq2d 5668 |
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23 | 10, 22 | syl 14 |
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24 | mulidnq 6946 |
. . . . . . . 8
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25 | 6, 24 | syl 14 |
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26 | 20, 23, 25 | 3eqtrd 2124 |
. . . . . 6
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27 | 26 | breq1d 3855 |
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28 | 18, 27 | bitrd 186 |
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29 | prcunqu 7042 |
. . . . . 6
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30 | 3, 29 | sylan 277 |
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31 | 30 | ad2antrr 472 |
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32 | 28, 31 | sylbid 148 |
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33 | df-imp 7026 |
. . . . . . . . 9
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34 | mulclnq 6933 |
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35 | 33, 34 | genppreclu 7072 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | exp4b 359 |
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37 | 36 | com34 82 |
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38 | 37 | imp32 253 |
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39 | 38 | adantlr 461 |
. . . 4
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40 | 39 | adantr 270 |
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41 | 32, 40 | syld 44 |
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42 | mulassnqg 6941 |
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43 | 13, 15, 10, 42 | syl3anc 1174 |
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44 | mulcomnqg 6940 |
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45 | 15, 10, 44 | syl2anc 403 |
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46 | 10, 21 | syl 14 |
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47 | 45, 46 | eqtrd 2120 |
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48 | 47 | oveq2d 5668 |
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49 | mulidnq 6946 |
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50 | 49 | adantl 271 |
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51 | 43, 48, 50 | 3eqtrd 2124 |
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52 | 51 | eleq1d 2156 |
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53 | 41, 52 | sylibd 147 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3954 ax-sep 3957 ax-nul 3965 ax-pow 4009 ax-pr 4036 ax-un 4260 ax-setind 4353 ax-iinf 4403 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-pw 3431 df-sn 3452 df-pr 3453 df-op 3455 df-uni 3654 df-int 3689 df-iun 3732 df-br 3846 df-opab 3900 df-mpt 3901 df-tr 3937 df-eprel 4116 df-id 4120 df-iord 4193 df-on 4195 df-suc 4198 df-iom 4406 df-xp 4444 df-rel 4445 df-cnv 4446 df-co 4447 df-dm 4448 df-rn 4449 df-res 4450 df-ima 4451 df-iota 4980 df-fun 5017 df-fn 5018 df-f 5019 df-f1 5020 df-fo 5021 df-f1o 5022 df-fv 5023 df-ov 5655 df-oprab 5656 df-mpt2 5657 df-1st 5911 df-2nd 5912 df-recs 6070 df-irdg 6135 df-1o 6181 df-oadd 6185 df-omul 6186 df-er 6290 df-ec 6292 df-qs 6296 df-ni 6861 df-mi 6863 df-lti 6864 df-mpq 6902 df-enq 6904 df-nqqs 6905 df-mqqs 6907 df-1nqqs 6908 df-rq 6909 df-ltnqqs 6910 df-inp 7023 df-imp 7026 |
This theorem is referenced by: mullocprlem 7127 mulclpr 7129 |
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