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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulnqpru | Unicode version |
Description: Lemma to prove upward closure in positive real multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Dec-2019.) |
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mulnqpru |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltmnqg 7399 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | adantl 277 |
. . . . . 6
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3 | prop 7473 |
. . . . . . . . 9
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4 | elprnqu 7480 |
. . . . . . . . 9
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5 | 3, 4 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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7 | prop 7473 |
. . . . . . . . 9
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8 | elprnqu 7480 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | ad2antlr 489 |
. . . . . . 7
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11 | mulclnq 7374 |
. . . . . . 7
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12 | 6, 10, 11 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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13 | simpr 110 |
. . . . . 6
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14 | recclnq 7390 |
. . . . . . 7
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15 | 10, 14 | syl 14 |
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16 | mulcomnqg 7381 |
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17 | 16 | adantl 277 |
. . . . . 6
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18 | 2, 12, 13, 15, 17 | caovord2d 6043 |
. . . . 5
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19 | mulassnqg 7382 |
. . . . . . . 8
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20 | 6, 10, 15, 19 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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21 | recidnq 7391 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | oveq2d 5890 |
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23 | 10, 22 | syl 14 |
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24 | mulidnq 7387 |
. . . . . . . 8
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25 | 6, 24 | syl 14 |
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26 | 20, 23, 25 | 3eqtrd 2214 |
. . . . . 6
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27 | 26 | breq1d 4013 |
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28 | 18, 27 | bitrd 188 |
. . . 4
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29 | prcunqu 7483 |
. . . . . 6
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30 | 3, 29 | sylan 283 |
. . . . 5
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31 | 30 | ad2antrr 488 |
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32 | 28, 31 | sylbid 150 |
. . 3
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33 | df-imp 7467 |
. . . . . . . . 9
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34 | mulclnq 7374 |
. . . . . . . . 9
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35 | 33, 34 | genppreclu 7513 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | exp4b 367 |
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37 | 36 | com34 83 |
. . . . . 6
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38 | 37 | imp32 257 |
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39 | 38 | adantlr 477 |
. . . 4
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40 | 39 | adantr 276 |
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41 | 32, 40 | syld 45 |
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42 | mulassnqg 7382 |
. . . . 5
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43 | 13, 15, 10, 42 | syl3anc 1238 |
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44 | mulcomnqg 7381 |
. . . . . . 7
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45 | 15, 10, 44 | syl2anc 411 |
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46 | 10, 21 | syl 14 |
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47 | 45, 46 | eqtrd 2210 |
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48 | 47 | oveq2d 5890 |
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49 | mulidnq 7387 |
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50 | 49 | adantl 277 |
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51 | 43, 48, 50 | 3eqtrd 2214 |
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52 | 51 | eleq1d 2246 |
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53 | 41, 52 | sylibd 149 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-eprel 4289 df-id 4293 df-iord 4366 df-on 4368 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-omul 6421 df-er 6534 df-ec 6536 df-qs 6540 df-ni 7302 df-mi 7304 df-lti 7305 df-mpq 7343 df-enq 7345 df-nqqs 7346 df-mqqs 7348 df-1nqqs 7349 df-rq 7350 df-ltnqqs 7351 df-inp 7464 df-imp 7467 |
This theorem is referenced by: mullocprlem 7568 mulclpr 7570 |
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