Theorem nnminle 11990

Description: The infimum of a decidable subset of the natural numbers is less than an element of the set. The infimum is also a minimum as shown at nnmindc 11989. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnminle	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem nnminle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss5 3332	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ ↔ 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
2	1	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
3		nnuz 9522	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	3	ineq1i 3324	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴)
5		dfin5 3128	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
6	4, 5	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
7	2, 6	eqtrdi 2219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
8	7	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
9	8	infeq1d 6989	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
10		1zzd 9239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
11		eqid 2170	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
12		simp3 994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
13	12, 8	eleqtrd 2249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
14		eleq1w 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
15	14	dcbid 833	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑛 ∈ 𝐴))
16		simpl2 996	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
17		elfznn 10010	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝐵) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	17	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐵)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	15, 16, 18	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐵)) → DECID 𝑛 ∈ 𝐴)
20	10, 11, 13, 19	infssuzledc 11905	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
21	9, 20	eqbrtrd 4011	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 829   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  {crab 2452   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  infcinf 6960  ℝcr 7773  1c1 7775   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  nnwodc  11991