Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnre Unicode version

Theorem qbtwnre 10066
 Description: The rational numbers are dense in : any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 983 . . . 4
2 simp1 982 . . . 4
31, 2resubcld 8168 . . 3
4 simp3 984 . . . 4
52, 1posdifd 8319 . . . 4
64, 5mpbid 146 . . 3
7 nnrecl 9000 . . 3
83, 6, 7syl2anc 409 . 2
92adantr 274 . . . . 5
10 2re 8815 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6
12 simprl 521 . . . . . . 7
1312nnred 8758 . . . . . 6
1411, 13remulcld 7821 . . . . 5
159, 14remulcld 7821 . . . 4
16 rebtwn2z 10064 . . . 4
1715, 16syl 14 . . 3
18 simprl 521 . . . . . 6
19 2z 9107 . . . . . . 7
2019a1i 9 . . . . . 6
2118, 20zaddcld 9202 . . . . 5
22 2nn 8906 . . . . . . 7
2322a1i 9 . . . . . 6
2412adantr 274 . . . . . 6
2523, 24nnmulcld 8794 . . . . 5
26 znq 9444 . . . . 5
2721, 25, 26syl2anc 409 . . . 4
28 simprrr 530 . . . . 5
299adantr 274 . . . . . 6
3021zred 9198 . . . . . 6
3125nnrpd 9512 . . . . . 6
3229, 30, 31ltmuldivd 9562 . . . . 5
3328, 32mpbid 146 . . . 4
34 simpll2 1022 . . . . 5
35 simprrl 529 . . . . 5
36 simplrr 526 . . . . 5
3718, 24, 29, 34, 35, 36qbtwnrelemcalc 10065 . . . 4
38 breq2 3941 . . . . . 6
39 breq1 3940 . . . . . 6
4038, 39anbi12d 465 . . . . 5
4140rspcev 2793 . . . 4
4227, 33, 37, 41syl12anc 1215 . . 3
4317, 42rexlimddv 2557 . 2
448, 43rexlimddv 2557 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  cr 7644  cc0 7645  c1 7646   caddc 7648   cmul 7650   clt 7825   cmin 7958   cdiv 8457  cn 8745  c2 8796  cz 9079  cq 9439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472 This theorem is referenced by:  qbtwnxr  10067  qdenre  11007  expcnvre  11305
 Copyright terms: Public domain W3C validator