Theorem nq0a0 7519

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7504	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7488	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 5928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4627	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7377	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		addnnnq0 7511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 439	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2248	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
10		pinn 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
14		nnm1 6580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
15	14	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = (𝑤 +o ∅))
16		nna0 6529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +o ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2205	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 297	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2229	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1908	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∅c0 3447  ⟨cop 3622  ωcom 4623  (class class class)co 5919  1_oc1o 6464   +_o coa 6468   ·_o comu 6469  [cec 6587  Ncnpi 7334   ~_Q0 ceq0 7348  Q₀cnq0 7349  0_Q0c0q0 7350   +_Q0 cplq0 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-mi 7368  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7562