ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 GIF version

Theorem nq0a0 7455
Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0 (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7440 . 2 (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ))
2 df-0nq0 7424 . . . . . 6 0Q0 = [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0
3 oveq12 5883 . . . . . 6 ((๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง 0Q0 = [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ))
42, 3mpan2 425 . . . . 5 (๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ))
5 peano1 4593 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ ฯ‰
6 1pi 7313 . . . . . 6 1o โˆˆ N
7 addnnnq0 7447 . . . . . 6 (((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง (โˆ… โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ] ~Q0 )
85, 6, 7mpanr12 439 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2232 . . . 4 (((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = [โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ] ~Q0 )
10 pinn 7307 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ โˆˆ N โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰)
11 nnm0 6475 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฃ ยทo โˆ…) = โˆ…)
1211oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)) = ((๐‘ค ยทo 1o) +o โˆ…))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ โˆˆ N โ†’ ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)) = ((๐‘ค ยทo 1o) +o โˆ…))
14 nnm1 6525 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ค ยทo 1o) = ๐‘ค)
1514oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐‘ค ยทo 1o) +o โˆ…) = (๐‘ค +o โˆ…))
16 nna0 6474 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ค +o โˆ…) = ๐‘ค)
1715, 16eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐‘ค ยทo 1o) +o โˆ…) = ๐‘ค)
1813, 17sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)) = ๐‘ค)
19 nnm1 6525 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฃ ยทo 1o) = ๐‘ฃ)
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ โˆˆ N โ†’ (๐‘ฃ ยทo 1o) = ๐‘ฃ)
2120adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฃ ยทo 1o) = ๐‘ฃ)
2218, 21opeq12d 3786 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ)
2322eceq1d 6570 . . . . . 6 ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ [โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 )
2423eqeq2d 2189 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐ด = [โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ] ~Q0 โ†” ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ))
2524biimpar 297 . . . 4 (((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ ๐ด = [โŸจ((๐‘ค ยทo 1o) +o (๐‘ฃ ยทo โˆ…)), (๐‘ฃ ยทo 1o)โŸฉ] ~Q0 )
269, 25eqtr4d 2213 . . 3 (((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)
2726exlimivv 1896 . 2 (โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)
281, 27syl 14 1 (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆ…c0 3422  โŸจcop 3595  ฯ‰com 4589  (class class class)co 5874  1oc1o 6409   +o coa 6413   ยทo comu 6414  [cec 6532  Ncnpi 7270   ~Q0 ceq0 7284  Q0cnq0 7285  0Q0c0q0 7286   +Q0 cplq0 7287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7498
  Copyright terms: Public domain W3C validator