Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 GIF version

Theorem nq0a0 7290
 Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7275 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 7259 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3 oveq12 5791 . . . . . 6 ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan2 422 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4516 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 7148 . . . . . 6 1oN
7 addnnnq0 7282 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1oN)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanr12 436 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2195 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
10 pinn 7142 . . . . . . . . . 10 (𝑣N𝑣 ∈ ω)
11 nnm0 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o ∅) = ∅)
1211oveq2d 5798 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
14 nnm1 6428 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
1514oveq1d 5797 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = (𝑤 +o ∅))
16 nna0 6378 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +o ∅) = 𝑤)
1715, 16eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = 𝑤)
1813, 17sylan9eqr 2195 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = 𝑤)
19 nnm1 6428 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑣N → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
2120adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
2218, 21opeq12d 3721 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
2322eceq1d 6473 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
2423eqeq2d 2152 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2524biimpar 295 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
269, 25eqtr4d 2176 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
2726exlimivv 1869 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
281, 27syl 14 1 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∅c0 3368  ⟨cop 3535  ωcom 4512  (class class class)co 5782  1oc1o 6314   +o coa 6318   ·o comu 6319  [cec 6435  Ncnpi 7105   ~Q0 ceq0 7119  Q0cnq0 7120  0Q0c0q0 7121   +Q0 cplq0 7122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7137  df-mi 7139  df-enq0 7257  df-nq0 7258  df-0nq0 7259  df-plq0 7260 This theorem is referenced by:  prarloclem5  7333
 Copyright terms: Public domain W3C validator