Theorem nq0a0 6919

Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6904	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 6888	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3		oveq12 5600	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4372	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 6777	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
7		addnnnq0 6911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 430	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2137	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10		pinn 6771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14		nnm1 6213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
15	14	oveq1d 5606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑤 +𝑜 ∅))
16		nna0 6167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +𝑜 ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
21	20	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2094	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 291	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2118	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1819	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  ∅c0 3269  ⟨cop 3425  ωcom 4368  (class class class)co 5591  1_𝑜c1o 6106   +_𝑜 coa 6110   ·_𝑜 comu 6111  [cec 6220  Ncnpi 6734   ~_Q0 ceq0 6748  Q₀cnq0 6749  0_Q0c0q0 6750   +_Q0 cplq0 6751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-mi 6768  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6962