ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 GIF version

Theorem nq0a0 6919
Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6904 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6888 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5600 . . . . . 6 ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan2 416 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4372 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 6777 . . . . . 6 1𝑜N
7 addnnnq0 6911 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanr12 430 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2137 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10 pinn 6771 . . . . . . . . . 10 (𝑣N𝑣 ∈ ω)
11 nnm0 6168 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 ∅) = ∅)
1211oveq2d 5607 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14 nnm1 6213 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
1514oveq1d 5606 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑤 +𝑜 ∅))
16 nna0 6167 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +𝑜 ∅) = 𝑤)
1715, 16eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = 𝑤)
1813, 17sylan9eqr 2137 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = 𝑤)
19 nnm1 6213 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑣N → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
2120adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
2218, 21opeq12d 3604 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
2322eceq1d 6258 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
2423eqeq2d 2094 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2524biimpar 291 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
269, 25eqtr4d 2118 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
2726exlimivv 1819 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
281, 27syl 14 1 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  c0 3269  cop 3425  ωcom 4368  (class class class)co 5591  1𝑜c1o 6106   +𝑜 coa 6110   ·𝑜 comu 6111  [cec 6220  Ncnpi 6734   ~Q0 ceq0 6748  Q0cnq0 6749  0Q0c0q0 6750   +Q0 cplq0 6751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-mi 6768  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6962
  Copyright terms: Public domain W3C validator