Theorem nq0a0 7458

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7443	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7427	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 5886	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4595	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7316	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		addnnnq0 7450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 439	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2232	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
10		pinn 7310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
14		nnm1 6528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
15	14	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = (𝑤 +o ∅))
16		nna0 6477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +o ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2189	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 297	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1896	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∅c0 3424  ⟨cop 3597  ωcom 4591  (class class class)co 5877  1_oc1o 6412   +_o coa 6416   ·_o comu 6417  [cec 6535  Ncnpi 7273   ~_Q0 ceq0 7287  Q₀cnq0 7288  0_Q0c0q0 7289   +_Q0 cplq0 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7501