Theorem nq0a0 7213

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7182	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 5737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4468	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7071	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		addnnnq0 7205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 433	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2169	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
10		pinn 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
14		nnm1 6374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
15	14	oveq1d 5743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = (𝑤 +o ∅))
16		nna0 6324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +o ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
21	20	adantl 273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2126	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 293	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2150	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1850	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1314  ∃wex 1451   ∈ wcel 1463  ∅c0 3329  ⟨cop 3496  ωcom 4464  (class class class)co 5728  1_oc1o 6260   +_o coa 6264   ·_o comu 6265  [cec 6381  Ncnpi 7028   ~_Q0 ceq0 7042  Q₀cnq0 7043  0_Q0c0q0 7044   +_Q0 cplq0 7045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-mi 7062  df-enq0 7180  df-nq0 7181  df-0nq0 7182  df-plq0 7183

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7256