Theorem nq0a0 7818

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7803	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7787	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 6088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 429	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4739	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7676	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		addnnnq0 7810	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 443	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2293	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
10		pinn 7670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = ((𝑤 ·o 1o) +o ∅))
14		nnm1 6792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
15	14	oveq1d 6094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = (𝑤 +o ∅))
16		nna0 6741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +o ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·o 1o) +o ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·o 1o) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 297	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·o 1o) +o (𝑣 ·o ∅)), (𝑣 ·o 1o)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1952	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  ⟨cop 3711  ωcom 4735  (class class class)co 6079  1_oc1o 6674   +_o coa 6678   ·_o comu 6679  [cec 6799  Ncnpi 7633   ~_Q0 ceq0 7647  Q₀cnq0 7648  0_Q0c0q0 7649   +_Q0 cplq0 7650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-0nq0 7787  df-plq0 7788

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7861