Theorem prdsinvgd 13695

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 13693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
13	12	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
14		grpmnd 13592	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
15	14	ssriv 3231	. . . . 5 ⊢ Grp ⊆ Mnd
16		fss 5494	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
17	8, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
18	1, 6, 4, 17	prds0g 13534	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
19	13, 18	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌))
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 13694	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21	12	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵)
22		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
23		prdsinvgd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 13638	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
26	19, 25	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   ↦ cmpt 4150   ∘ ccom 4729  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  0_gc0g 13341  X_scprds 13350  Mndcmnd 13501  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-hom 13186  df-cco 13187  df-rest 13326  df-topn 13327  df-0g 13343  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-prds 13352  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589

This theorem is referenced by:  pwsinvg  13697