Theorem prdsmulrval 14185

Description: Value of a componentwise ring product in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsmulrval.t	|- .x. = ( .r ` Y )

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrval	|- ( ph -> ( F .x. G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, G   ph, x   x, I   x, V   x, R   x, S   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .x. ( x)

Proof of Theorem prdsmulrval

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		fnex 5937	. . . 4 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
7		prdsbasmpt.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
8	3	fndmd 5482	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
9		prdsmulrval.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` Y )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	prdsmulr 14178	. 2 |- ( ph -> .x. = ( y e. B , z e. B |-> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) ) )
11		fveq1 5694	. . . . 5 |- ( y = F -> ( y ` x ) = ( F ` x ) )
12		fveq1 5694	. . . . 5 |- ( z = G -> ( z ` x ) = ( G ` x ) )
13	11, 12	oveqan12d 6104	. . . 4 |- ( ( y = F /\ z = G ) -> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
14	13	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
15	14	mpteq2dv 4222	. 2 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
16		prdsplusgval.f	. 2 |- ( ph -> F e. B )
17		prdsplusgval.g	. 2 |- ( ph -> G e. B )
18	4	mptexd 5944	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
19	10, 15, 16, 17, 18	ovmpod 6216	1 |- ( ph -> ( F .x. G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432   X__scprds 14169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-hom 13455  df-cco 13456  df-rest 13595  df-topn 13596  df-topgen 13614  df-pt 13615  df-prds 14170

This theorem is used by:  prdsmulrfval  14186  pwsmulrval  14209