Theorem prdsmulrval 13490

Description: Value of a componentwise ring product in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsmulrval.t	|- .x. = ( .r ` Y )

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrval	|- ( ph -> ( F .x. G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, G   ph, x   x, I   x, V   x, R   x, S   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .x. ( x)

Proof of Theorem prdsmulrval

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		fnex 5905	. . . 4 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
7		prdsbasmpt.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
8	3	fndmd 5456	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
9		prdsmulrval.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` Y )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	prdsmulr 13483	. 2 |- ( ph -> .x. = ( y e. B , z e. B |-> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) ) )
11		fveq1 5668	. . . . 5 |- ( y = F -> ( y ` x ) = ( F ` x ) )
12		fveq1 5668	. . . . 5 |- ( z = G -> ( z ` x ) = ( G ` x ) )
13	11, 12	oveqan12d 6068	. . . 4 |- ( ( y = F /\ z = G ) -> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
14	13	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
15	14	mpteq2dv 4200	. 2 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
16		prdsplusgval.f	. 2 |- ( ph -> F e. B )
17		prdsplusgval.g	. 2 |- ( ph -> G e. B )
18	4	mptexd 5912	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
19	10, 15, 16, 17, 18	ovmpod 6180	1 |- ( ph -> ( F .x. G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   |-> cmpt 4170   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   .rcmulr 13283   X__scprds 13470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-hom 13306  df-cco 13307  df-rest 13446  df-topn 13447  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-prds 13472

This theorem is referenced by:  prdsmulrfval  13491  pwsmulrval  13501