Theorem prdsplusgfval 14186

Description: Value of a structure product sum at a single coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsplusgval.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgfval.j	|- ( ph -> J e. I )

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgfval	|- ( ph -> ( ( F .+ G ) ` J ) = ( ( F ` J ) ( +g ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )

Proof of Theorem prdsplusgfval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbasmpt.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
6		prdsplusgval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. B )
7		prdsplusgval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. B )
8		prdsplusgval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` Y )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prdsplusgval 14185	. . 3 |- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
10	9	fveq1d 5697	. 2 |- ( ph -> ( ( F .+ G ) ` J ) = ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) ` J ) )
11		eqid 2238	. . 3 |- ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
12		2fveq3 5700	. . . 4 |- ( x = J -> ( +g ` ( R ` x ) ) = ( +g ` ( R ` J ) ) )
13		fveq2 5695	. . . 4 |- ( x = J -> ( F ` x ) = ( F ` J ) )
14		fveq2 5695	. . . 4 |- ( x = J -> ( G ` x ) = ( G ` J ) )
15	12, 13, 14	oveq123d 6106	. . 3 |- ( x = J -> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) = ( ( F ` J ) ( +g ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )
16		prdsplusgfval.j	. . 3 |- ( ph -> J e. I )
17		fvexg 5714	. . . . 5 |- ( ( F e. B /\ J e. I ) -> ( F ` J ) e. _V )
18	6, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` J ) e. _V )
19		fnex 5937	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
20	5, 4, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. _V )
21		fvexg 5714	. . . . . 6 |- ( ( R e. _V /\ J e. I ) -> ( R ` J ) e. _V )
22	20, 16, 21	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ` J ) e. _V )
23		plusgslid 13468	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
24	23	slotex 13381	. . . . 5 |- ( ( R ` J ) e. _V -> ( +g ` ( R ` J ) ) e. _V )
25	22, 24	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` ( R ` J ) ) e. _V )
26		fvexg 5714	. . . . 5 |- ( ( G e. B /\ J e. I ) -> ( G ` J ) e. _V )
27	7, 16, 26	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` J ) e. _V )
28		ovexg 6119	. . . 4 |- ( ( ( F ` J ) e. _V /\ ( +g ` ( R ` J ) ) e. _V /\ ( G ` J ) e. _V ) -> ( ( F ` J ) ( +g ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) e. _V )
29	18, 25, 27, 28	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` J ) ( +g ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) e. _V )
30	11, 15, 16, 29	fvmptd3 5799	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) ` J ) = ( ( F ` J ) ( +g ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )
31	10, 30	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( ( F .+ G ) ` J ) = ( ( F ` J ) ( +g ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13354   +g cplusg 13433   X__scprds 14171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-hom 13457  df-cco 13458  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-prds 14172

This theorem is used by:  prdssgrpd  14193  prdsmndd  14196