Theorem prdsmulrval 14168

Description: Value of a componentwise ring product in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsmulrval.t	⊢ · = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsmulrval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 5931	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 5480	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9		prdsmulrval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑌)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	prdsmulr 14161	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑦‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
11		fveq1 5692	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (𝑦‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 5692	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	11, 12	oveqan12d 6098	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → ((𝑦‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → ((𝑦‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
15	14	mpteq2dv 4220	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑦‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
16		prdsplusgval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		prdsplusgval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	4	mptexd 5938	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
19	10, 15, 16, 17, 18	ovmpod 6210	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4190   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  ._rcmulr 13415  X_scprds 14152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-ixp 6975  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-hom 13438  df-cco 13439  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-prds 14153

This theorem is referenced by:  prdsmulrfval  14169  pwsmulrval  14192