Theorem prdsmulrfval 12988

Description: Value of a structure product's ring product at a single coordinate. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsmulrval.t	|- .x. = ( .r ` Y )
prdsmulrfval.j	|- ( ph -> J e. I )

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrfval	|- ( ph -> ( ( F .x. G ) ` J ) = ( ( F ` J ) ( .r ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )

Proof of Theorem prdsmulrfval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbasmpt.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
6		prdsplusgval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. B )
7		prdsplusgval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. B )
8		prdsmulrval.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` Y )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prdsmulrval 12987	. . 3 |- ( ph -> ( F .x. G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
10	9	fveq1d 5563	. 2 |- ( ph -> ( ( F .x. G ) ` J ) = ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) ` J ) )
11		eqid 2196	. . 3 |- ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
12		2fveq3 5566	. . . 4 |- ( x = J -> ( .r ` ( R ` x ) ) = ( .r ` ( R ` J ) ) )
13		fveq2 5561	. . . 4 |- ( x = J -> ( F ` x ) = ( F ` J ) )
14		fveq2 5561	. . . 4 |- ( x = J -> ( G ` x ) = ( G ` J ) )
15	12, 13, 14	oveq123d 5946	. . 3 |- ( x = J -> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) = ( ( F ` J ) ( .r ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )
16		prdsmulrfval.j	. . 3 |- ( ph -> J e. I )
17		fvexg 5580	. . . . 5 |- ( ( F e. B /\ J e. I ) -> ( F ` J ) e. _V )
18	6, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` J ) e. _V )
19		fnex 5787	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
20	5, 4, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. _V )
21		fvexg 5580	. . . . . 6 |- ( ( R e. _V /\ J e. I ) -> ( R ` J ) e. _V )
22	20, 16, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ` J ) e. _V )
23		mulrslid 12834	. . . . . 6 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
24	23	slotex 12730	. . . . 5 |- ( ( R ` J ) e. _V -> ( .r ` ( R ` J ) ) e. _V )
25	22, 24	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` ( R ` J ) ) e. _V )
26		fvexg 5580	. . . . 5 |- ( ( G e. B /\ J e. I ) -> ( G ` J ) e. _V )
27	7, 16, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` J ) e. _V )
28		ovexg 5959	. . . 4 |- ( ( ( F ` J ) e. _V /\ ( .r ` ( R ` J ) ) e. _V /\ ( G ` J ) e. _V ) -> ( ( F ` J ) ( .r ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) e. _V )
29	18, 25, 27, 28	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` J ) ( .r ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) e. _V )
30	11, 15, 16, 29	fvmptd3 5658	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) ` J ) = ( ( F ` J ) ( .r ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )
31	10, 30	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( ( F .x. G ) ` J ) = ( ( F ` J ) ( .r ` ( R ` J ) ) ( G ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   |-> cmpt 4095   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   .rcmulr 12781   X__scprds 12967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805  df-rest 12943  df-topn 12944  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-prds 12969

This theorem is referenced by: (None)