Theorem prmuloc2 7680

Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 7679 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio B, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc2	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prmuloc2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloc 7679	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. Q. E. y e. Q. ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) )
2		nfv 1551	. . 3 |- F/ x ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B )
3		nfre1 2549	. . 3 |- F/ x E. x e. L ( x .Q B ) e. U
4		simpr1 1006	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> x e. L )
5		simpr3 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) )
6		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> y e. Q. )
7		mulidnq 7502	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Q. -> ( y .Q 1Q ) = y )
8		breq1 4047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y .Q 1Q ) = y -> ( ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) <-> y <Q ( x .Q B ) ) )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> ( ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) <-> y <Q ( x .Q B ) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> y <Q ( x .Q B ) )
11		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
12		simpr2 1007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> y e. U )
13		prcunqu 7598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ y e. U ) -> ( y <Q ( x .Q B ) -> ( x .Q B ) e. U ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> ( y <Q ( x .Q B ) -> ( x .Q B ) e. U ) )
15	10, 14	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> ( x .Q B ) e. U )
16		rspe 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. L /\ ( x .Q B ) e. U ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U )
17	4, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) /\ ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U )
18	17	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U ) )
19	18	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ x e. Q. ) /\ y e. Q. ) -> ( ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U ) )
20	19	rexlimdva 2623	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) /\ x e. Q. ) -> ( E. y e. Q. ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U ) )
21	20	ex 115	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) -> ( x e. Q. -> ( E. y e. Q. ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U ) ) )
22	2, 3, 21	rexlimd 2620	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) -> ( E. x e. Q. E. y e. Q. ( x e. L /\ y e. U /\ ( y .Q 1Q ) <Q ( x .Q B ) ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U ) )
23	1, 22	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. L ( x .Q B ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   <.cop 3636   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   Q.cnq 7393   1Qc1q 7394   .Q cmq 7396   <Q cltq 7398   P.cnp 7404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7746  recexprlem1ssu  7747